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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
ment petit ; on peut en conclure que les séries (3 bis) et les séries
(3) convergent.
C.Q.F.D.
Applications au Problème des trois Corps.
28.Les résultats du numéro précédent subsistent évidemment
quand, au lieu d’un seul paramètre arbitraire
on en a plusieurs.
Voici l’usage que nous allons faire de ce résultat : nous n’avons,
dans le no 27, envisagé que la solution particulière pour laquelle
les valeurs initiales de
et de
sont nulles.
Supposons que nous considérions la solution particulière pour
laquelle ces valeurs initiales sont
et
et que nous nous proposions
de développer cette solution suivant les puissances de
et
Mais nous pouvons encore aller plus loin : reprenons les
équations (1) du numéro précédent, et envisageons la solution
particulière telle que
![{\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f857cf81399cb6a580ab9babccd173d9e0eab2)
pour
cherchons ensuite à développer les valeurs de
et de
pour
suivant les puissances de
et ![{\displaystyle \tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871bb01391136d3551c8ea59059e106be2a403cd)
Posons ensuite
![{\displaystyle x=x'+x_{0},\qquad y=y'+y_{0},\qquad t=t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff36dab330f37fbb3fd5abf2dd349939bdd847d)
les équations (1) deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx'}{dt'}}&={\frac {t_{0}}{t_{0}+\tau }}\varphi \left(x'+x_{0},\,y'+y_{0},\,t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},\,\mu \right),\\[0.5ex]{\frac {dy'}{dt'}}&={\frac {t_{0}}{t_{0}+\tau }}\psi \left(x'+x_{0},\,y'+y_{0},\,t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},\,\mu \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447c2dcdf27ec71a1e635cce3082f71b192ded0b)
Nous pourrons y regarder
et
comme les variables et
comme quatre paramètres arbitraires.
La solution particulière que nous envisageons est telle que,
pour
on a
![{\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f857cf81399cb6a580ab9babccd173d9e0eab2)
et, par conséquent,
![{\displaystyle x'=y'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7083522195a93d1580fdeca76f5c9d5784b4eb)