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CHAPITRE II.
et je me propose de démontrer que
![{\displaystyle |x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2c5ca71693dbf9706a664d7274702753cccb10)
En effet, on conclut des inégalités (5) que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {d\varphi }{dx_{0}}}\right|&<{\frac {d\varphi '}{dx'_{0}}},&\left|{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}\right|&<{\frac {d\varphi '}{dy'_{0}}},&\left|{\frac {d\psi }{dy_{0}}}\right|&<{\frac {d\psi '}{dy'_{0}}},&\left|{\frac {d\psi }{dx_{0}}}\right|&<{\frac {d\psi '}{dx'_{0}}},\\[0.75ex]&&\left|\mathrm {X} _{m}\right|&<\mathrm {X} '_{m},&\left|\mathrm {Y} _{m}\right|&<\mathrm {Y} '_{m}.&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1303594481a74858ba254467422bf349f421556f)
Nous devons donc conclure que les inégalités
![{\displaystyle |x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2c5ca71693dbf9706a664d7274702753cccb10)
entraînent les suivantes :
![{\displaystyle \left|{\frac {dx_{m}}{dt}}\right|<{\frac {dx'_{m}}{dt}},\qquad \left|{\frac {dy_{m}}{dt}}\right|<{\frac {dy'_{m}}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868ceda9520bc459378a0df7ef3563e10287b196)
Un raisonnement tout semblable à celui qui précède montrerait
ensuite que l’on a
![{\displaystyle |x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}\qquad \mathrm {pour} \;0<t<t_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4781790ddc033c9963ba4af8bd12711fe8aa1801)
Ces inégalités peuvent d’ailleurs s’écrire
![{\displaystyle f<f',\qquad f_{1}<f'_{1}\qquad (\mathrm {arg.} \;\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec6cf38d7cc947da83f8851f9e56e658cbaa1f3)
mais non
![{\displaystyle \mathrm {arg.} t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1a14a67df922d015c5bf13c05b0f3949f843a7)
26.Reprenons les équations (1) du no 23.
(1)
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Ces équations sont satisfaites formellement par certaines séries
(3)
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développées suivant les puissances croissantes de
et se réduisant respectivement à
et
pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Pour démontrer la convergence de ces séries, comparons-les
aux séries obtenues en partant d’équations différentes.