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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
les développer suivant les puissances de ce paramètre. Écrivons donc
(1)
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Supposons que, dans la fonction
on substitue à la place de
et de
leurs développements (1) ; alors
deviendra une fonction
de
de
ad inf. ;
et de
ad
inf. ; de plus elle pourra être développée suivant les puissances de
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\mu \varphi _{1}+\mu ^{2}\varphi _{2}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd8098f52e3ad205b7fd546973da21bfd3b7ed5)
On voit aisément que
ne dépend que de
et
de
et
et, en général,
de
Supposons maintenant que l’on ait
![{\displaystyle \varphi (x,y)\ll \psi (x,y)\qquad (\mathrm {arg.} \;x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9966818c08f349980d426d029dbec4f3847cd0)
Dans
substituons, à la place de
et de
leurs développements
(1), de sorte que l’on ait
![{\displaystyle \psi =\psi _{0}+\mu \psi _{1}+\mu ^{2}\psi _{2}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e162b613714ec40923c11ccf8aeb39879ecc70b4)
On voit aisément qu’il vient
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\varphi _{0}\ll \psi _{0}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,y_{0}),\\\varphi _{1}\ll \psi _{1}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,y_{0}\,;x_{1},\,y_{1}),\\\dots \dots \dots &\,\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..,\\\varphi _{p}\ll \psi _{p}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,x_{1},\,\dots ,\,x_{p}\,;\;y_{0},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{p}).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc297da8cc2199f4b6f86f949a0c0ed2f205e3d1)
On s’en rend compte en appliquant le cinquième principe du
numéro précédent, ce qui montre que
![{\displaystyle \varphi \ll \psi \quad (\mathrm {arg.} \;\mu ,\,x_{0},\,x_{1},\,\dots \;\mathrm {ad} \;\mathrm {inf.} \,;\,y_{0},\,y_{1},\,\dots \;\mathrm {ad} \;\mathrm {inf.} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8cc9d0c3ff4ed4eeb3e4bc0c681947a5a22fc7)
Nous conviendrons d’écrire, pour abréger,
au lieu de
Théorème de Cauchy.
23.Le théorème de Cauchy se trouve aujourd’hui dans tous les
Traités classiques ; aussi me bornerais-je à l’énoncer sans démon-