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CHAPITRE I.
On opérerait d’une manière analogue si l’on avait à envisager
des valeurs de
très voisines de
Qu’arrivera-t-il maintenant si les valeurs de
et de
sont
très voisines des limites que leur assignent les inégalités (3), c’est-à-dire
si les inclinaisons sont petites ou nulles ?
Supposons, par exemple, que
Nous avons vu, au no 12, que
est développable suivant les
puissances croissantes des variables
de ces
paragraphes ; c’est-à-dire suivant les puissances croissantes de
![{\displaystyle {\sqrt {\beta \mathrm {L} -\beta \mathrm {G} }},\quad {\sqrt {\beta '\mathrm {L} '-\beta '\mathrm {G} '}},\quad {\sqrt {\beta \mathrm {G} -\beta \Theta }},\quad {\sqrt {\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f671c71b0b5359e755b029fbd3df14076cf4a58a)
si les inclinaisons sont nulles ; on a
![{\displaystyle \mathrm {G} =\Theta ,\qquad \mathrm {G} =\Theta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c756303c9b8db638c7a43c991b4f11eef0c61a21)
et les deux derniers radicaux s’annulent, mais il n’en est pas de
même des deux premiers ; la fonction
est alors holomorphe en
![{\displaystyle {\sqrt {\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7991f95d363d5c9bfb39b92d6d9da2640e4330)
Mais nous avons vu au no 12 que
ne change pas quand
changent de signe à la fois, ou, ce qui revient au même, quand les deux radicaux
et
changent de signe à la fois.
Donc, pour les valeurs très petites ou nulles des inclinaisons,
est holomorphe par rapport à
et à
d’une part, et par rapport
à
d’autre part.
Mais nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {G} &={\frac {\mathrm {\mathrm {H} } }{\beta }},&\mathrm {G} '&={\frac {\mathrm {H} '}{\beta '}},&\Theta &={\frac {1}{2\beta }}\left(\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {H} ^{2}-\mathrm {H} '^{2}}{\mathrm {C} }}\right),&\Theta '&={\frac {1}{2\beta '}}\left(\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {H} '^{2}-\mathrm {H} ^{2}}{\mathrm {C} }}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5012cc4ec2c28ed2f1f5764a11dcad81098a3ba)
d’où
![{\displaystyle {\sqrt {(\beta \mathrm {G} -\beta \Theta )(\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta ')}}={\frac {1}{2\mathrm {C} }}{\sqrt {\left[(\mathrm {H} -\mathrm {C} )^{2}-\mathrm {H} '^{2}\right]\left[(\mathrm {H} '-\mathrm {C} )^{2}-\mathrm {H} ^{2}\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f2ce63e8973013b28490519901f96688b57909)
ou
![{\displaystyle {\sqrt {(\beta \mathrm {G} -\beta \Theta )(\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta ')}}={\frac {\mathrm {H} +\mathrm {H} '-\mathrm {C} }{2\mathrm {C} }}{\sqrt {(\mathrm {H} -\mathrm {C} -\mathrm {H} ')(\mathrm {H} '-\mathrm {C} -\mathrm {H} )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfc10ce61050d447a768968375888751c96c67d)
Ces égalités montrent que
![{\displaystyle \mathrm {G} ,\quad \mathrm {G} ',\quad {\sqrt {(\beta \mathrm {G} -\beta \Theta )(\beta '\mathrm {G} '-\beta '\Theta ')}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de0fa69e7886ef8b6fd8ffc40ce083a284b54a0)