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CHAPITRE I.

Si, dans un des termes du développement de $\mathrm {F} ,$ on fait

$\Lambda =-\mathrm {H} ,\qquad \Lambda '=\mathrm {H} -\mathrm {C} ,$

ce terme s’annulera encore, à moins que

$m_{3}=m_{1}=-m_{2}\,.$

. On pourrait être tenté de conclure que, pour

$\Lambda =-\mathrm {H} ,\qquad \Lambda '=\mathrm {H} -\mathrm {C} ,$

$\mathrm {F}$ est encore une fonction de $l-l'+h\,;$ il n’en est rien, car le développement n’est valable que pour les petites valeurs de $\Lambda -\mathrm {H}$ et $\Lambda '-\mathrm {C} +\mathrm {H} .$ Un raisonnement analogue à celui qui précède prouve, au contraire, que pour $\Lambda =-\mathrm {H} ,$ $\Lambda '=\mathrm {H} -\mathrm {C} ,$ $\mathrm {F}$ est fonction de $l-l'-h$ et non pas de $l-l'+h.$

Dans le cas où la valeur de $\Lambda -\mathrm {H}$ est extrêmement petite, il peut être avantageux de faire un changement de variables particulier.

On a identiquement

$\Lambda l+\mathrm {H} h=\Lambda (l+h)-h(\Lambda -\mathrm {H} )\,;$

la forme canonique, en vertu du n^o 5, n’est donc pas altérée quand on remplace les variables

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {H} ,\\l,&l',&h\;\\\end{array}}$

par les suivantes

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\Lambda -\mathrm {H} ,\\l+h,&l',&-h\;\\\end{array}}$

Posons maintenant

${\begin{aligned}l+h&=\lambda ^{\star },&{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\cos h&=\xi ^{\star },&-{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\sin h&=\eta ^{\star }\,;\end{aligned}}$

en vertu du n^o 6 la forme canonique des équations subsiste, quand on prend pour variables

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ^{\star },\\\lambda ^{\star },&l',&\eta ^{\star },\\\end{array}}$

On a l’avantage que la fonction $\mathrm {F} ,$ qui reste périodique en $\lambda ^{\star }$ et en $l',$ est développable suivant les puissances de $\xi ^{\star }$ et $\eta ^{\star }$ quand ces deux variables sont assez petites.