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CHAPITRE I.
Le problème se ramène ainsi à l’intégration des équations
qui sont des équations canoniques ne comportant plus que
degrés de liberté.
Ainsi, si, en général, on connaît une intégrale d’un système
d’équations différentielles, on pourra abaisser l’ordre du système
d’une unité ; mais, si ce système est canonique, on pourra en abaisser
l’ordre de deux unités.
Prenons pour exemple le problème du mouvement d’un corps
pesant suspendu à un point fixe ; nous avons vu que ce problème
comporte 3 degrés de liberté ; mais on connaît une intégrale
qui est celle des aires ; le nombre des degrés de liberté peut donc
être abaissé à 2.
Qu’arrive-t-il maintenant lorsqu’on connaît, non plus une seule,
mais intégrales des équations (1) ?
Soient
ces intégrales, de sorte que
Peut-on, à l’aide de ces intégrales, abaisser de unités le nombre
des degrés de liberté ? Cela n’aura pas lieu en général ; il faut pour
cela que les équations aux dérivées partielles
(6)
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soient compatibles ; ce qui exige les conditions
(7)
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Si les conditions (7) sont remplies, on éliminera entre les équations (6)
et l’on arrivera à une équation aux dérivées partielles où
ces dérivées n’entreront plus et que l’on pourra considérer