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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

en supposant de plus que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que des $x$ et est indépendant des $y\,;$ et que $\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2},\dots$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $y.$

Réduction des équations canoniques.

14.Nous avons vu que l’intégration des équations (1) du numéro précédent peut se ramener à l’intégration d’une équation aux dérivées partielles

(2)

$\mathrm {F} \left(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\,\dots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=\mathrm {const.}$

Imaginons que l’on connaisse une intégrale des équations (1) et que cette intégrale s’écrive

$\mathrm {F} _{1}(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{p})=\mathrm {const.} \,;$

cela veut dire que l’on aura identiquement

(3)

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=0.$

Je me propose de démontrer que la connaissance de cette intégrale permet d’abaisser d’une unité le nombre des degrés de liberté.

En effet, l’équation (3) signifie qu’il existe une infinité de fonctions $\mathrm {S}$ satisfaisant à la fois à l’équation (2) et à l’équation

(4)

$\mathrm {F} _{1}\left(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\,\dots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=\mathrm {const.}$

Cela posé, entre les équations (2) et (4) éliminons ${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},$ il viendra

(5)

$\Phi \left(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{3}}},\,\dots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{p}}}\right)=0.$

Dans l’équation (5), ${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}}$ n’entre pas ; rien n’empêche alors de regarder $x_{1}$ non plus comme variable, mais comme un paramètre arbitraire ; l’équation (5) devient alors une équation aux dérivées partielles à $p-1$ variables indépendantes seulement.