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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Or on voit sans peine que
ne dépend que de
et satisfait à l’équation
![{\displaystyle w\,{\frac {du'}{dw}}=u'(4\mathrm {A} +\mathrm {W} )+\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d664eb59c03d007901d4b4fc6336ecafa0f3d4e)
Donc
est fini ; donc
reste finie quand
tend vers 0.
Donc on a asymptotiquement (en entendant ce mot au même sens que plus haut)
![{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dw}}={\frac {d\theta _{i}^{0}}{dw}}+\alpha {\frac {d\theta _{i}^{1}}{dw}}+\alpha ^{2}{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dw}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23477847c82df84f8b951042f54bc862f851483)
On démontrerait de même que l’on a asymptotiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\theta _{i}}{dt}}&=\,{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dt}}\;+\alpha \,{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dt}}\;+\alpha ^{2}\,{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dt}}\;+\ldots ,\\[1ex]{\frac {d^{2}\theta _{i}}{dw^{2}}}&={\frac {d^{2}\theta _{i}^{0}}{dw^{2}}}+\alpha {\frac {d^{2}\theta _{i}^{1}}{dw^{2}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}\theta _{i}^{2}}{dw^{2}}}+\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b16b63e943b9d96aa83b7850b58714552848306)
Voici donc la conclusion finale à laquelle nous parvenons :
Les séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,&n_{i}t+y_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d554739d0bf907a45aef3cfcce791ab0642794)
définies dans ce paragraphe sont divergentes, mais elles jouissent
de la même propriété que la série de Stirling, de telle sorte que
l’on a asymptotiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9537fa3bee8b695725d14d8f5d07780b0d5b5ef6)
De plus, si
est un signe quelconque de différentiation, c’est-à-dire si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {D} f={\frac {d^{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{k}}f}{dt^{\lambda _{0}}dw_{1}^{\lambda _{1}}dw_{2}^{\lambda _{2}}\ldots dw_{k}^{\lambda _{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6cc0b6c9c01f9fc77e8b3cb2ee95860b372f81)
on aura encore asymptotiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} x_{i}&=\mathrm {D} x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} x_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} x_{i}^{2}+\ldots ,\\\mathrm {D} y_{i}&=\mathrm {D} (n_{i}t+y_{i}^{0})+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} y_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} y_{i}^{2}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1661a09cd6443c94cbd3ac01beb59a16d0950875)
En ce qui concerne l’étude des séries analogues à celles de Stirling,