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CHAPITRE VII.

tend vers 0 avec $\alpha .$ En effet, cette expression est égale à

$\alpha (\theta _{i}^{p}+u_{i})$

et nous venons de voir que $\theta _{i}^{p}+u_{i}$ reste fini quand $\alpha$ tend vers 0.

117.Mais ce n’est pas tout ; je dis que ${\frac {du_{i}}{dw}}$ reste fini quand $\alpha$ tend vers 0.

Nous avons en effet

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)+\alpha \,w\,{\frac {d}{dw}}\!\left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)+\alpha \left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)=\alpha {\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}{\frac {du_{k}}{dw}}+\alpha {\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\cdot$

${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}$ et ${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}$ sont des fonctions de $t,$ de $w,$ de $\alpha$ et des $u_{i}\,;$ mais, d’après ce que nous venons de voir, nous pouvons assigner aux $u_{i}$ des limites supérieures ; nous pourrons donc en assigner également aux ${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}$ et aux ${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\cdot$ Supposons, par exemple, que l’on ait

$\left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}\right|<\mathrm {A} ,\quad \left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\right|<\mathrm {B} \quad (\mathrm {pour} \;w<\mathrm {W} ),$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux nombres positifs.

D’autre part, nous savons qu’on peut assigner une limite à ${\frac {du_{i}}{dw}}$ pour $w=w_{1},$ si $w_{1}$ est inférieur à la quantité que nous avons appelée $w_{0}$ à la fin du n^o 112.

Supposons, par exemple, que l’on ait

$\left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\right|<u_{0}'\quad \mathrm {pour} \;w=w_{1},$

$u_{0}'$ étant un nombre positif. Soit ensuite $u'$ une fonction définie comme il suit

${\begin{aligned}{\frac {du'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {du'}{dw}}&=\alpha \,u'(4\mathrm {A} +\mathrm {W} )+\alpha \,\mathrm {B} ,\\[1ex]u'=u_{0}\quad &\mathrm {pour} \quad w=w_{1}.\end{aligned}}$

On aura manifestement

$\left|{\frac {du_{i}}{dw}}\right|<u'.$