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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

et nos équations deviendront

(5)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}}=\Xi _{i}.$

La seule différence de forme entre les équations (3) et les équations (5), c’est alors que les seconds membres des équations (3) dépendent de $w$ et ne s’annulent pas pour

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.$

Mais il est aisé de faire disparaître cette différence de forme. Il suffit pour cela d’adjoindre aux équations (3) l’équation suivante

${\frac {dx_{n+1}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{n+1}}{dw}}=\alpha \,x_{n+1},$

qui admet pour solution $x_{n+1}=w,$ et de remplacer $w$ par $x_{n+1}$ dans les fonctions $\varphi _{i}.$ Alors ces fonctions $\varphi _{i}$ ne contiennent plus $w$ et s’annulent pour

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n+1}=0.$

Nous pouvons donc appliquer aux équations (3) et (3 bis) les résultats du n^o 104 et conclure que ces équations admettent des solutions de la forme (4).

Le calcul des coefficients $\mathrm {A} _{i,2},\,\mathrm {A} _{i,2},\,\ldots$ se fait très facilement par récurrence en appliquant les procédés du n^o 104.

Supposons donc que l’on trouve ainsi

$|\mathrm {A} _{i,2}|<\mathrm {A} _{i,2}'$

et cela quel que soit $t.$

Nous en conclurons que

$\lim \left|{\frac {x_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {x_{i}'}{w^{2}}}\qquad (\mathrm {pour} \;w=0)$

et, par conséquent, qu’on peut trouver une valeur $w_{0}$ de $w$ assez petite pour que l’on ait

$|x_{i}|<x_{i}'$

pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs de $w$ plus petites que $w_{0}$ et plus grandes que 0.