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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
pour qu’elle le soit quand on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&>w_{0},&\tau &=\tau _{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b25029c6a19d1e0418503825fb6f9be3bf1e382)
Mais nous avons supposé qu’elles le sont, quel que soit
et, par
conséquent
pour
elles le seront donc encore, quel que
soit
et, par conséquent
pour
C.Q. F. D.
On démontrerait absolument de la même manière un lemme un
peu plus général :
Soient
des fonctions de
et
développables suivant les puissances des
et
telles que l’on ait pour toutes les valeurs considérées de
et de
![{\displaystyle \varphi _{1}\ll \varphi _{1}',\quad \varphi _{2}\ll \varphi _{2}',\quad \ldots ,\quad \varphi _{n}\ll \varphi _{n}',\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbdda219bf984b16f20ab5a3eb9a4ad1c2b6302)
Envisageons les équations
(3)
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et
(3 bis)
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Supposons que l’on ait, quel que soit
pour ![{\displaystyle w=w_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5421e3abc33fed701a68a8ab2a229a807c59b2)
![{\displaystyle |x_{i}|<x_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71d7a18593eaf995de92dd1b086cc2b379a917a)
cela aura lieu quel que soit
pour ![{\displaystyle w>w_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75b74406c2a1b9cc2bb980e3a145a157bb0777b)
Faisons maintenant des hypothèses plus particulières au sujet
des fonctions
et
Supposons :
1o Que ces fonctions sont périodiques par rapport à
et de période
2o Que pour les petites valeurs de
elles sont développables
suivant les puissances croissantes de
cela peut d’ailleurs ne pas
avoir lieu pour toutes les valeurs considérées de
il suffit qu’il
en soit ainsi pour les petites valeurs de cette variable ;
3o Que ces fonctions sont développables suivant les puissances