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CHAPITRE VII.
Je dis que, pour toutes les valeurs de
plus grandes que
on aura encore
(2)
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Changeons de variables en posant
![{\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\log w+\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa779b952df303fca85c69c7b1b48dbffc7d11c)
On aura alors, en représentant par des
ronds les dérivées partielles
prises par rapport aux variables
et ![{\displaystyle w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6)
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial w}}={\frac {dx}{dw}}+{\frac {1}{\alpha \,w}}\,{\frac {dx}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e391f01f0b1a7d13e028ce15f0893973461567d8)
Nos équations deviendront donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \,w{\frac {\partial x}{\partial w}}&=\varphi ,&\alpha \,w{\frac {\partial x'}{\partial w}}&=\varphi ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49cd0fcb6d22ade04c0abd420c0edf1f342e7b2)
si pour un certain système de valeurs des variables
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=w_{1},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d62ae2f2e41bd13ba341c71c511a83fa97e87c9)
l’inégalité (2) est satisfaite ; on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\varphi |&<\varphi ',\\[1ex]\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}\right|&<{\frac {\partial x'}{\partial w}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a20ec57a0166e5a6b318868dd0ec4b9e9c894f)
de sorte que l’inégalité (2) sera encore satisfaite pour
![{\displaystyle w=w_{1}+dw,\qquad \tau =\tau _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd937774883218c496a3aac1dab3856086a9d274)
puisque l’on aura
![{\displaystyle |x|<x'\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3303312284120ea512f6aba8be6bb8a1db6c74ad)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \left|x+{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<|x|+\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<x'+{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77d543ac4703a97f9bcc59e0e222fcf3a4eb9b5)
Il suffit donc qu’elle le soit encore quand on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=w_{0},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0af7e4def7f22a8f4b2bda255ed9d0e83772c0e)