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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

De ce fait, et de ce que nous savons déjà au sujet des fonctions $\mathrm {V} _{i}'$ (qui ne sont autre chose que les dérivées de $\Phi '$), nous pouvons conclure ce qui suit :

On peut trouver deux nombres réels et positifs $\mathrm {M}$ et $\beta ,$ indépendants de $t$ et de $w$ assez grands pour que l’on ait (en posant, pour abréger, $s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}$)

$\mathrm {V} _{i}\ll \mathrm {M} w^{2}+\mathrm {M} ws+{\frac {\mathrm {M} \alpha ^{p}s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}\qquad (\mathrm {arg} \,\alpha ,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}),$

pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs de $w$ comprises entre 0 et une limite supérieure quelconque $\mathrm {W} .$ Cela aura lieu quelque grand que soit $\mathrm {W} \,;$ mais les nombres $\mathrm {M}$ et $\beta$ devront être choisis d’autant plus grands que $\mathrm {W}$ sera lui-même plus grand.

Lemme fondamental.

115.Établissons maintenant le lemme suivant :

Soient $\varphi (x,\,t,\,w),\;\varphi '(x,\,t,\,w)$ deux fonctions de $x,$ $t$ et $w$ qui soient développables suivant les puissances de $x$ et telles que l’on ait pour toutes les valeurs de $t$ et de $w$ que l’on a à considérer

$\varphi \ll \varphi '\quad (\mathrm {arg} \,x)$

Considérons les deux équations suivantes

(1)

${\frac {dx}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx}{dw}}=\varphi (x,\,t,\,w)$

et

(1 bis)

${\frac {dx'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx'}{dw}}=\varphi '(x',\,t,\,w).$

Considérons une solution particulière de chacune de ces deux équations, choisie de telle sorte que, pour $w=w_{0}$ ($w_{0}$ étant une valeur positive quelconque de $w$), on ait

$|x|<x'.$