or, si l’ellipse ne coupe pas la circonférence décrite par la seconde masse, comme il arrivera dans presque toutes les applications, cette rencontre ne pourra jamais se produire quelles que soient les valeurs réelles attribuées à et à
Il en sera encore de même si nous prenons un plus grand nombre de degrés de liberté et si nous étudions le Problème des trois Corps dans toute sa généralité.
Alors les variables définissent la forme des ellipses et l’inclinaison mutuelle de leurs plans, les variables définissent la position des nœuds, des périhélies et des masses elles-mêmes. Il arrivera alors, dans la plupart des cas, que, si l’on donne aux variables les valeurs qui correspondent à une solution périodique et à l’hypothèse limite ces deux ellipses ne pourront se couper de quelque manière qu’on les tourne dans leur plan. La fonction ne pourra donc cesser d’être holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux
Nous sommes ainsi conduit à supposer que, pour est holomorphe pour toutes les valeurs réelles des Les cas où cela n’aurait pas lieu n’ont pas d’importance au point de vue des applications. C’est d’ailleurs l’hypothèse que nous avons toujours faite jusqu’ici.
Si alors on remplace dans les et les par les expressions (22), peut se développer suivant les puissances de de et de et ce développement, dont les coefficients sont des fonctions de et de reste convergent pour toutes les valeurs de et de Les rayons de convergence tant par rapport à qu’aux et aux sont des fonctions continues de et de qui ne s’annulent pour aucune valeur réelle de ces variables.
Si l’on observe que les les les les les sont liés entre eux par les relations
et par les relations (13 bis), (17) et (22), on conclura que et, par conséquent, sont développables suivant les puissances de et des que les coefficients du développement et les rayons de convergence sont des fonctions continues de et de et que ces rayons de convergence ne s’annulent pour aucune valeur réelle de et de
