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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

être divisibles par $\alpha \,;$ mais elles peuvent être d’ailleurs quelconques, puisque $\mathrm {S} _{i},$ $\mathrm {T} _{i},$ $\mathrm {S} _{i}',$ $\mathrm {T} _{i}',$ $\ldots$ ne sont déterminés qu’à un facteur constant près. Nous pourrons donc poser

$(\mathrm {U} ,\mathrm {U} ')=(\mathrm {U} '',\mathrm {U} ''')=\alpha .$

Si l’on observe que, d’autre part,

${\begin{aligned}d\xi _{i}&=\theta _{1}\,d\mathrm {S} _{i}+\theta _{2}\,d\mathrm {S} _{i}'+\theta _{3}\,d\mathrm {S} _{i}''+\theta _{4}\,d\mathrm {S} _{i}'''+\mathrm {S} _{i}\,d\theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,d\theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,d\theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,d\theta _{4}\\d\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}\,\delta \theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,\delta \theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,\delta \theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,\delta \theta _{4},\qquad \ldots .\\\end{aligned}}$

On conclura que

$\alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=(\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega )\,dt,$

$\delta \Omega$ désignant une expression homogène et linéaire tant par rapport aux $\theta _{i}$ que par rapport aux $\delta \theta _{i}\,;$ les coefficients de cette fonction bilinéaire sont d’ailleurs des fonctions périodiques de $t.$

Je dis que $\delta \Omega$ est une différentielle exacte et, en effet, les équations (14) nous donnent

$\alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=\alpha ^{2}(\delta \mathrm {G} +\delta \mathrm {G} ')\,dt$

où $\delta \mathrm {G}$ est la différentielle exacte d’une fonction

$\mathrm {G} =\theta _{1}\theta _{2}+{\frac {\theta _{4}^{2}}{2}}$

et où

$\delta \mathrm {G} '=\Theta _{1}\,\delta \theta _{2}-\Theta _{2}\,\delta \theta _{1}+\Theta _{3}\,\delta \theta _{4}-\Theta _{4}\,\delta \theta _{3}.$

Je dis que $\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega =\alpha ^{2}(\delta \mathrm {G} +\delta \mathrm {G} ')$ est une différentielle exacte ; il suffit, pour s’en convaincre, d’observer que, dans cette expression, les termes du premier degré par rapport aux $\theta _{i}$ se réduisant à $\delta \mathrm {G}$ sont une différentielle exacte et qu’il doit en être de même de ceux dont le degré est supérieur à 1, puisque $\delta \mathrm {F} ^{\star }$ est une différentielle exacte et que $\delta \Omega$ ne contient que des termes du premier degré.

Nous pouvons donc poser

$\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega =\alpha ^{2}\delta \Phi ,$

où

$\Phi =\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {F} ''}{\alpha ^{2}}},$