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CHAPITRE VII.
113.Observons que les équations (14) et de même les équations
(21) peuvent se mettre sous la forme canonique.
En effet, si nous posons, comme au début du no 110,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd309daff57bb87198aa40aaf7fd62e41858684)
les équations canoniques du mouvement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd774eb8de71b97ebafc19f362e32a258594635)
deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d989b5e13ed1d6ffc1c449512889a57051a3c003)
étant défini de la manière suivante.
Quand, dans
on remplace
et
par
et
cette
fonction
peut se développer suivant les puissances des
et des
les coefficients étant des fonctions périodiques de
Soit alors
l’ensemble des termes de degré 0 et 1 par rapport aux
et aux
nous poserons
![{\displaystyle \mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {F} -\mathrm {F} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144a16852e04e745a437dc4a2614f72fc614497d)
Si nous désignons par
et
des accroissements virtuels
quelconques de
et de
et par
l’accroissement
correspondant de
ces équations peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(d\xi _{i}\,\delta \eta _{i}-d\eta _{i}\,\delta \xi _{i}\right)=\delta \mathrm {F} ^{\star }\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837d0cf414b8ae7356e5e37d16139b7e99dcd86d)
Que devient cette équation quand on prend pour variables nouvelles les
Adoptant une notation analogue à celle du no 70, nous poserons
![{\displaystyle (\mathrm {U} ,\mathrm {U} ')={\textstyle \sum }(\mathrm {S} _{i}\mathrm {T} _{i}'-\mathrm {S} _{i}'\mathrm {T} _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc528cca3767e8cb8be5de1b6938add8685814e5)
et nous définirons de même
Le no 70 nous apprend que toutes ces quantités sont nulles, à l’exception de
et
qui sont des constantes.
Ces constantes doivent