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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Les équations (21) et (21 bis) nous donnent alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{1}={\frac {\mathrm {A} _{1}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n}},\qquad \mathrm {B} _{2}&={\frac {\mathrm {A} _{2}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+2}},\qquad \mathrm {B} _{4}={\frac {\mathrm {A} _{4}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}},\\[1ex]\mathrm {B} _{3}&={\frac {\mathrm {B} _{4}+\mathrm {A} _{3}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}}\cdot \\[1ex]\mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{2}'&=\mathrm {B} _{4}'=\mathrm {A} ,\qquad \mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{4}'+\mathrm {A} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbde3ea7572c46f82a7008d3605c8668dc4760a)
Comme
![{\displaystyle \left|{\frac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n\right|>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010210d808e00a0387976dc5da8280782e93b636)
on a
![{\displaystyle |\mathrm {B} _{i}|<\mathrm {B} _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6c40e7b6982b33727e3c035db6d91aad2deb64)
d’où
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8181013ae10f48549fb74655fb3b31e42dafbc76)
et par récurrence
![{\displaystyle u_{i}\ll u_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77786ea20362816cf2303a9820f56ce5e729096f)
C.Q.F.D.
Comme cette inégalité est prise par rapport aux arguments
et
elle peut être différentiée tant par rapport à
que par
rapport à
de sorte que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du_{i}}{dt}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dt}},&{\frac {du_{i}}{dw}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dw}},&{\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}}&\ll {\frac {d^{2}u_{i}'}{dw^{2}}},&&\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d374a61fff48907ca4e1cc451fae4aaaf4afbdcb)
Soit
la valeur de
pour
si
on aura pour les valeurs positives de
![{\displaystyle |u_{i}|<u_{i}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525fc1137b380464b9deb9a74a46e8fb7d006c6b)
Mais
est développable suivant les puissances de
on peut
donc lui assigner une limite supérieure indépendante de
pour les
petites valeurs de
puisqu’il tend vers une limite finie quand
tend vers o.
Il en est de même, en vertu des inégalités que nous venons
d’établir de
On démontrerait de même qu’il en est encore ainsi des dérivées
C.Q.F.D.