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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

En ce qui concerne la seconde solution, l’exposant est égal à $-\alpha$ et, par conséquent, $\alpha _{1}$ est égal à$-1,$ de sorte que ces équations deviennent

${\begin{aligned}-\mathrm {T} _{i}'&={\frac {\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}'}{\alpha }}+{\frac {\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}'}{\alpha }},\\-{\frac {\mathrm {S} _{i}'}{\alpha }}&=b_{i\,1}\mathrm {T} _{1}'+b_{i\,2}\mathrm {T} _{2}',\\\end{aligned}}$

ce qui permet de supposer

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{i}'&=\mathrm {T} _{i},&\mathrm {S} _{i}'&=-\mathrm {S} _{i}.\end{aligned}}$

$\mathrm {S} _{i}''$ étant divisible par $\alpha ^{2},$ ${\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }}$ s’annule pour $\alpha =0.$ En même temps, pour $\alpha =0,$ on a

$\mathrm {T} _{i}''=n_{i}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\cdot$

Pour $\alpha =0,$ $\mathrm {T} _{i}'''=\alpha \mathrm {T} _{i}^{\star }$ s’annule et on a

${\frac {\mathrm {S} _{i}'''}{\alpha }}=\mathrm {S} _{i}^{\star }\gtrless 0\,;$

on trouve

$n_{i}=\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}^{\star }+\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}^{\star }.$

Nous pouvons conclure de là que le déterminant $\Delta$ se réduit pour $\alpha =0$ à

$\Delta =2\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{1}'''}{\alpha }}\\{\dfrac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{2}'''}{\alpha }}\end{array}}\right|\;\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {T} _{1}&n_{1}\\\mathrm {T} _{2}&n_{2}\end{array}}\right|.$

On trouve d’ailleurs

$\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {T} _{1}&n_{1}\\\mathrm {T} _{2}&n_{2}\\\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{1}'''}{\alpha }}\\{\dfrac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{2}'''}{\alpha }}\\\end{array}}\right|\;\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{1\,2}^{0}\\\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}\\\end{array}}\right|.$

Le déterminant des $\mathrm {C} _{ik}^{0},$ qui n’est autre chose que le hessien de $\mathrm {F} _{0},$ ne s’annule pas en général, de sorte que $\Delta$ ne peut s’annuler que si l’on a

${\frac {\mathrm {T} _{1}}{n_{1}}}={\frac {\mathrm {T} _{2}}{n_{2}}}\,;$