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CHAPITRE VII.

Ces équations différentielles où les fonctions inconnues sont les $y_{i}^{0}$ et les $x_{i}^{1}$ admettront une solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}^{1}&=0,&y_{i}^{0}&=\varpi _{i}\end{aligned}}$

$\varpi _{i}$ étant la quantité désignée ainsi au n^o 44.

Les exposants caractéristiques relatifs à cette solution périodique sont précisément les quantités $\alpha _{k}^{1}.$ Parmi ces quantités nous sommes convenus de ne conserver que celles dont la partie réelle est positive. Les équations (9) admettent un système de solutions asymptotiques et il est aisé de voir que ces solutions se présentent sous la forme de séries développées suivant les puissances des $w.$ Ces séries satisferont alors aux équations (8). Ces équations peuvent donc être résolues.

Les $x_{i}^{1}$ et les $y_{i}^{0}$ étant ainsi déterminés, le reste du calcul ne présente plus, comme nous l’avons vu, aucune difficulté. Il existe donc des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ des $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}$ et qui satisfont formellement aux équations (1).

Cela prouve que le développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ ne débute jamais par une puissance négative de ${\sqrt {\mu }}.$ L’analyse des n^o 110 et 111 nous en fournira une nouvelle démonstration.

Divergence des séries du n^o 108.

109.Malheureusement les séries ainsi obtenues ne sont pas convergentes.

Soit en effet

${\frac {1}{{\sqrt {-1}}\,\gamma +\Sigma \,\alpha \beta -a_{i}}}\cdot$

Si $\gamma$ n’est pas nul, cette expression est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais le rayon de convergence de la série ainsi obtenue tend vers 0 quand ${\frac {\gamma }{\Sigma \,\beta }}$ tend vers 0.

Si donc on développe les diverses quantités ${\frac {1}{\Pi }}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ on pourra toujours, parmi ces quantités, en trouver