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CHAPITRE VII.

Si alors nous appelons $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ les coefficients de

$w_{1}^{m_{1}}w_{2}^{m_{2}}\ldots w_{n-1}^{m_{n-1}}$

dans ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]},$ nous aurons pour déterminer ces coefficients les équations suivantes

(6)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,b_{i\,k}\eta _{k}-\mathrm {S} \xi _{i}&=\lambda _{i},\\{\textstyle \sum }_{k}\,\mathrm {C} _{i\,k}^{0}\xi _{k}-\mathrm {S} \eta _{i}&=\mu _{i}.\end{aligned}}\right.$

Dans ces équations (6), $\lambda _{i}$ et $\mu _{i}$ sont des quantités connues, parce qu’elles ne dépendent que de

${\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{p}\;\;\;-\left[x_{i}^{p}\right],\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad y_{i}^{p-2},\quad y_{i}^{p-1}-\left[y_{i}^{p-1}\right]\\\end{aligned}}$

ou des termes de ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}$ dont le degré par rapport aux $w$ est plus petit que

$m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n-1}.$

De plus, nous avons posé, pour abréger,

$\mathrm {S} =m_{1}\alpha _{1}^{1}+m_{2}\alpha _{2}^{1}+\ldots +m_{n-1}\alpha _{n-1}^{1}.$

Nous avons donc pour le calcul des coefficients $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ un système d’équations linéaires. Il ne pourrait y avoir de difficulté que si le déterminant de ces équations était nul ; or ce déterminant est égal à

$\mathrm {S} ^{2}[\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{1}^{1})^{2}][\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{2}^{1})^{2}]\ldots [\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{n-1}^{1})^{2}].$

Il ne pourrait s’annuler que pour

$\mathrm {S} =0,\quad \mathrm {S} =\pm \alpha _{i}^{1},$

c’est-à-dire pour

$m_{1}+m_{1}+\ldots +m_{n-1}=0\quad \mathrm {ou} \quad 1.$

On ne pourrait donc rencontrer de difficulté que dans le calcul des termes du degré 0 ou 1 par rapport aux $w.$

Mais nous n’avons pas à revenir sur le calcul de ces termes ; en effet, nous avons appris à calculer les termes indépendants des $w$ dans le n^o 44 et les coefficients de

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n-1}$

dans le n^o 79.