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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

or cela aura toujours lieu parce que ces fonctions périodiques sont analytiques. Quant à $\varepsilon ,$ c’est une constante positive.

On peut tirer des équations (2′′) les $\eta$ sous la forme suivante

(4′′)

$\eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {M} \,\varepsilon ^{-\delta }\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}e^{\left(\Sigma \,\alpha \beta \right)t}$

Plusieurs termes pourront d’ailleurs correspondre aux mêmes exposants $\beta ,$ et $\delta$ est un entier positif. Si l’on compare avec les séries tirées de (2′) qui s’écrivent

$\eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {N} {\frac {\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}}{\Pi }}e^{t\left(\Sigma \,\alpha \beta +\gamma {\sqrt {-1}}\right)},$

voici ce qu’on observe : 1^o $\mathrm {M}$ est réel positif et plus grand que $|\mathrm {N} |.$ 2^o $\Pi$ désigne le produit des diviseurs (5) dont le nombre est au plus égal à $\delta .$

Si donc la série (4′′) converge et si aucun des diviseurs (5) n’est plus petit que $\varepsilon ,$ la série (4′) convergera également. Voici donc comment on peut énoncer la condition de convergence.

La série converge si l’expression

$\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}$

ne peut pas devenir plus petite que toute quantité donnée $\varepsilon$ pour des valeurs entières et positives des $\beta$ et entières (positives ou négatives) de $\gamma \,;$ c’est-à-dire si aucun des deux polygones convexes qui enveloppe, le premier les $\alpha$ et $+{\sqrt {-1}},$ le second les $\alpha$ et $-{\sqrt {-1}},$ ne contient l’origine ; ou si toutes les quantités $\alpha$ ont leurs parties réelles de même signe et si aucune d’elles n’a sa partie réelle nulle.

Que ferons-nous alors s’il n’en est pas ainsi ?

Supposons, par exemple, que $k$ des quantités $\alpha$ aient leur partie réelle positive, et que $n-k$ aient leur partie réelle négative ou nulle. Il arrivera alors que la série (4′) restera convergente si on y annule les constantes $\mathrm {A}$ qui correspondent à un $\alpha$ dont la partie réelle est négative ou nulle, de sorte que ces séries ne nous donneront plus la solution générale des équations proposées, mais une solution contenant seulement $k$ constantes arbitraires. Cette solution est représentée par une série (4′) développée suivant les puis-