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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Nous pouvons écrire alors
(4′)
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représentant l’ensemble des termes de
qui sont de degré
par rapport aux ![{\displaystyle \mathrm {A.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a3445ea3deee71e91da28360e936f91536a3ed)
Nous remplacerons les
par leurs valeurs dans
et nous trouverons
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}^{p}=\mathrm {H} _{i}^{p,p}+\mathrm {H} _{i}^{p,p+1}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{p,q}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b1acb25d6bce85a46c6914ab13cc78bf4edd16)
désignant l’ensemble des termes qui sont de degré
par
rapport aux
Nous trouverons alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dt}}&=\alpha _{i}\eta _{i}^{1},\qquad \qquad \qquad \eta _{i}^{1}=\mathrm {A} _{i}e^{\alpha -it},\\{\frac {d\eta _{i}^{2}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{2}&=\mathrm {H} _{i}^{2,2},\qquad {\frac {d\eta _{i}^{3}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{3}=\mathrm {H} _{i}^{2,3}+\mathrm {H} _{i}^{3,3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\{\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}&=\mathrm {H} _{i}^{2,q}+\mathrm {H} _{i}^{3,q}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{q,q}=\mathrm {K} _{q}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36a02d229247afc948ac29a9554bae7834f34d0)
Ces équations permettront de calculer successivement par récurrence
![{\displaystyle \eta _{i}^{2},\quad \eta _{i}^{3},\quad \ldots ,\quad \eta _{i}^{q},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d5433c0d5c9cfe6ce7e7f31595eee0912fd07c)
En effet,
ne dépend que des
Si nous supposons que ces quantités aient été préalablement calculées, nous
pourrons écrire
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {K} _{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}e^{t(\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n})}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6a14962339b494f2255c52445396a995976777)
les
étant des entiers positifs dont la somme est
et
une fonction périodique.
On peut écrire encore
![{\displaystyle \psi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d5a4e30705ed86cf1f213cb8fcf40a97133944)
étant un coefficient généralement imaginaire et
un entier
positif ou négatif. Nous écrirons, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}=\mathrm {A} ^{q},\quad \alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n}={\textstyle \sum }\,\alpha \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35281f7d98908a457c936dc1caa67472fcd2c80)