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CHAPITRE VI.
« point de rebroussement à l’infini ». Il n’en est pas ainsi pour la
courbe
mais elle présente deux branches de courbes distinctes
se touchant à l’infini, ce qui donne non pas sept, mais huit points d’intersection.
Nous avons donc à l’infini huit points dans la direction de l’axe
des
et huit dans celle de l’axe des
Il reste donc
![{\displaystyle 42-2-8-8=24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a761eabcfdfcb98005740ad315acff39e4131e)
points singuliers.
Cela posé, est-il possible que les
de ces 24 points singuliers
ne dépendent que de deux variables ? Appelons
et
ces deux
variables. Nous pouvons en choisir une troisième
de façon
que
et
soient des fonctions de
Alors, quand on ferait varier
les deux autres variables
et
demeurant constantes,
les
ne devraient pas varier.
On a par hypothèse
![{\displaystyle \Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2aca0dd59d30c901aded2237062a85cabd96ce)
En différentiant la première de ces deux équations, on trouve
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dt}}\,dt+{\frac {d\Delta }{dz}}\,dz+{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}\,d\gamma _{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e6ac540881177fa32c3be17edbb75e6a72ae2c)
Or
et d’autre part
devrait être nul puisque
ne devrait pas varier. Il resterait donc
(2)
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Voyons ce que signifie cette équation. Si l’on fait varier
la
courbe
(ou ce qui revient au même la courbe
) varie ;
considérons la courbe
![{\displaystyle \Delta +{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cdaf6cf7d0cc5f44b1aac275374ed8729c67a7)
infiniment peu différente de
et que j’appellerai la courbe
L’équation (2) signifierait que cette courbe
devrait passer par
les 24 points singuliers.