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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

comme point triple et les deux axes comme asymptotes triples.

Mais il y a plus. On peut remarquer que $\mathrm {P}$ est la somme de trois carrés, de sorte que je puis écrire

$\mathrm {P} =\mathrm {U} _{1}^{2}+\mathrm {U} _{2}^{2}+\mathrm {U} _{3}^{2}=\Sigma \mathrm {U} ^{2},$

avec

$\mathrm {U} =\mathrm {A} x^{2}y+\mathrm {B} xy^{2}+\mathrm {C} xy+\mathrm {D} x+\mathrm {E} y.$

D’autre part, on peut poser

$\mathrm {V} =x\,{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-\mathrm {U} =\mathrm {A} x^{2}y-\mathrm {E} y,$

d’où

$x\,{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}=2\Sigma \mathrm {VU} +\mathrm {P} .$

Il vient donc, en tenant compte de $\mathrm {P} =0,$

${\begin{aligned}\mathrm {Q} &=2cxy(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y)\Sigma (\mathrm {A} x^{2}-\mathrm {E} )\mathrm {U} \\&-2axy(1+\tau '^{2})(x-\tau )(1-\tau x)\,\Sigma (\mathrm {B} y^{2}-\mathrm {D} )\mathrm {U} ,\\\end{aligned}}$

de sorte qu’en supprimant le facteur $2xy$ le système

$\mathrm {P} =\mathrm {Q} =0$

peut être remplacé par le suivant

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=0,\\\mathrm {R} &=c(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y)\Sigma (\mathrm {A} x^{2}-\mathrm {E} )\mathrm {U} \\&-a(1+\tau '^{2})(x-\tau )(1-\tau x)\,\Sigma (\mathrm {B} y^{2}-\mathrm {D} )\mathrm {U} =0.\\\end{aligned}}$

La courbe $\mathrm {R} =0$ n’est plus que du septième ordre ; elle n’a plus à l’origine qu’un point simple. Elle admet comme asymptotes les deux axes, deux droites autres que l’axe des $x$ et parallèles à cet axe, deux droites autres que l’axe des $y$ et parallèles à cet axe, une droite non parallèle aux axes.

Les deux courbes $\mathrm {R} =0,$ $\mathrm {P} =0$ ont en tout 42 intersections. Parmi ces intersections il y en a deux à l’origine. Voyons combien il y en a à l’infini dans la direction de l’axe des $x.$

La courbe $\mathrm {R}$ a trois asymptotes parallèles à l’axe des $x$ parmi lesquelles cet axe lui-même ; la courbe $\mathrm {P}$ admet cet axe comme asymptote double ; en général, cela ferait sept points d’intersection. En général, en effet, s’il y a une asymptote double, c’est qu’il y a un