Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/342

330

CHAPITRE VI.

Revenons maintenant au cas où l’inclinaison n’est pas nulle.

Énumérons les points singuliers donnés par les équations

(1)

$\Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

Pour cela, supposons l’inclinaison très petite, nous verrons, en nous reportant à ce qui a été dit au n^o 98, qu’il existe :

1^o Huit points singuliers très peu différents de D, C, F, T et de leurs réciproques ;

2^o Huit points singuliers dont deux diffèrent très peu de B, deux autres très peu de R et deux autres très peu de chacun de leurs réciproques ;

3^o Quatre points très peu différents de U $(x=\tau ,\,y=\tau ')\,;$ et en effet, quand l’inclinaison est nulle, les deux courbes $\Delta =0,$ ${\frac {d\Delta }{dt}}=0$ ont un point double en U ;

4^o Quatre points très peu différents de U′ $(x={\frac {1}{\tau }},\,y={\frac {1}{\tau '}}).$

En tout 24 points singuliers.

On peut arriver au même résultat d’une autre manière.

On voit que

$x^{2}y^{2}\Delta =\mathrm {P}$

est un polynôme entier du sixième ordre en $x$ et $y\,;$ de sorte que l’équation

$\mathrm {P} =0$

est celle d’une courbe du sixième ordre qui se décompose en deux autres (3) et (4), quand l’inclinaison est nulle.

D’autre part, l’équation ${\frac {d\Delta }{dt}}$ peut être remplacée par la suivante

$\mathrm {Q} =cx^{2}(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y){\frac {d\mathrm {P} }{dx}}-ay^{2}(1+\tau '^{2})(x-\tau ')(1-\tau x){\frac {d\mathrm {P} }{dy}}=0.$

Cette équation $\mathrm {Q} =0$ est celle d’une courbe du neuvième ordre, et les points singuliers seront les intersections de ces deux courbes, moins celles qui sont rejetées à l’origine ou à l’infini.

La courbe $\mathrm {P} =0$ admet l’origine comme point double et les axes comme asymptotes doubles ; la courbe $\mathrm {Q} =0$ admet l’origine