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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

$\tau$ et $\tau '$ dépendraient seulement de ces quatre variables, de sorte que le déterminant fonctionnel

${\frac {\partial (\tau ,\,\tau ',\,z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\alpha _{4},\,\alpha _{5})}}$

est nul. Supposons par exemple que $\alpha _{1}$ et $\alpha _{2}$ soient les deux excentricités ; $\tau$ dépendra seulement de $\alpha _{1}$ et $\tau '$ de $\alpha _{2},$ de sorte que ce déterminant fonctionnel est égal à

${\frac {d\tau }{d\alpha _{1}}}\,{\frac {d\tau '}{d\alpha _{2}}}\,{\frac {\partial (z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (i,\,\varpi ,\,\varpi ')}},$

puisque les trois dernières variables sont l’inclinaison $i$ et les longitudes des périhélies $\varpi$ et $\varpi '.$

On devrait donc avoir

${\frac {\partial (z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (i,\,\varpi ,\,\varpi ')}}=0,$

ce qui voudrait dire que les racines de l’équation (1) (quand on regarde les deux excentricités et, par conséquent, $\tau$ et $\tau '$ comme des constantes) ne dépendraient plus que de deux variables.

Il me reste à démontrer qu’il n’en est pas ainsi.

103.Commençons par le cas où l’inclinaison est nulle. Dans ce cas, les racines des équations (1) ne dépendent que des grands axes, des excentricités et de la différence $\varpi -\varpi '.$ Si, comme nous venons de le faire, nous regardons les grands axes et les excentricités comme des constantes, ces racines ne dépendront plus que de la différence $\varpi -\varpi '.$

En se rappelant ce que nous avons dit au n^o 85 et en raisonnant comme nous venons de le faire dans le numéro précédent, on verrait que pour que le problème des trois Corps dans le plan admît une intégrale uniforme (autre que celles des forces vives et des aires), il faudrait que ces racines ne dépendissent pas de $\varpi -\varpi '$ et qu’elles demeurassent constantes quand les grands axes et les excentricités demeurent eux-mêmes constants et l’inclinaison nulle.

Or il est clair qu’il n’en est pas ainsi, car $z_{0}$ est réel quand $\varpi -\varpi '$ est nul et imaginaire, en général, dans le cas contraire.