Premier cas. — Le point est un point tel que D ou que c’est-à-dire un point singulier véritable de
Alors deux valeurs de s’échangent entre elles quand on tourne autour du point et ces deux mêmes valeurs s’échangent encore entre elles quand on tourne autour du point Si l’on construit une courbe en prenant pour abscisse et pour ordonnée, cette courbe variera naturellement quand on fera varier et pour elle aura un point double.
Second cas. — Le point est un point tel que E, c’est-à-dire un point singulier apparent de
Alors quatre valeurs de s’échangent quand on tourne autour de et à savoir la première avec la deuxième, la troisième avec la quatrième quand on tourne autour de la deuxième avec la troisième quand on tourne autour de
Construisons donc la surface de Riemann relative à la fonction c’est-à-dire une surface de Riemann ayant autant de feuillets que cette fonction a de déterminations. Dans le premier cas, l’ordre de connexion de cette surface s’abaissera de deux unités quand deviendra égal à dans le second cas, il demeurera le même. C’est là la véritable raison de la différence entre les deux cas.
Cette circonstance que certains points singuliers ne sont qu’apparents est susceptible, si on l’applique convenablement, de simplifier considérablement la discussion des deux numéros précédents.
100.Rien n’est plus aisé maintenant que de connaître l’allure de la fonction dans le voisinage du point
Nous avons en effet
restant holomorphe pour et l’intégrale étant prise le long de
Comme est développable suivant les puissances de et et suivant celles de nous pouvons écrire
