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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

les points V, W et leurs réciproques, ne sont pour la fonction $\Phi (z)$ que des points singuliers apparents.

Dans le cas où l’on a à la fois

${\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}$

le choix du changement de variables, qui peut d’ailleurs se faire d’une infinité de manières, est plus délicat. Voici comment on peut faire ce choix.

Nous avons

${\begin{aligned}z&=x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}\;\;\;\,y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)},\\z_{0}&=x_{0}^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}\,y_{0}^{c}\,e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y_{0}}}-y_{0}\right)}.\\\end{aligned}}$

Posons

${\begin{aligned}x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}&=x_{0}^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}(1+\xi ^{2}),\\y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}&=y_{0}^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y_{0}}}-y_{0}\right)}(1+\eta ^{2}).\\\end{aligned}}$

Alors $x$ sera développable suivant les puissances de $\xi ,$ et $y$ suivant celles de $\eta \,;$ on aura $x=x_{0}$ pour $\xi =0,$ et $y=y_{0}$ pour $\eta =0.$ D’autre part, il viendra

${\frac {z}{z_{0}}}-1=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\xi ^{2}\eta ^{2},$

d’où

$\eta ={\sqrt {\frac {z-z_{0}-\xi ^{2}}{z_{0}(1+\xi ^{2})}}}\cdot$

En général, $\mathrm {F} (z,\,t)$ et $t$ seront des fonctions développables suivant les puissances de $\xi$ et de $\eta$ [il y aurait exception toutefois dans le cas où l’inclinaison serait nulle et où l’on aurait

$x_{0}=\tau ,\quad y_{0}=\tau '$

ou bien

$x_{0}={\frac {1}{\tau }},\quad y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\,;$

ce point $x=\tau ,\,y=\tau ',$ que nous avons appelé U, appartient en