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CHAPITRE VI.

$\psi$ sera développable suivant les puissances de $x-x_{0}$ et $z-z_{0},$ et nous aurons

$2i\pi \Phi (z)=\int {\frac {dx}{c\,x^{2}{\sqrt {\psi }}}}\,{\frac {(x-\tau )(1-\tau x)}{1+\tau ^{2}}}=\int \mathrm {H} (z,\,x)\,dx.$

La fonction $\mathrm {H} (z,\,x)$ sous le signe $\textstyle \int$ ne présente de point singulier que si $\psi =0.$

Pour que $\Phi (z)$ présente un point singulier, il faut que deux des points singuliers de $\mathrm {H} (z,\,x)$ viennent à se confondre. Or cela n’aura lieu que si l’on a à la fois

$\psi ={\frac {d\psi }{dx}}=0.$

L’équation $\psi =0$ correspond aux courbes (3) et (4) du numéro précédent (ou à la courbe du sixième degré qui les remplace quand l’inclinaison n’est pas nulle). Les équations $\psi ={\frac {d\psi }{dx}}=0$ correspondent aux points singuliers étudiés dans les deux premières hypothèses.

D’où cette conséquence, le point E et son réciproque ne sont pour la fonction $\Phi (z)$ que des points singuliers apparents, et l’on n’aura jamais à s’en occuper.

Supposons maintenant

$x_{0}\gtrless \tau ,\quad x_{0}\gtrless {\frac {1}{\tau }},\qquad y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\quad$ ou $\quad \tau '.$

Nous prendrons alors pour variables nouvelles $y$ et $z\,;$ nous trouverons, en conservant à $\psi$ la signification que lui donne l’équation (1),

$2i\pi \Phi (z)=\int {\frac {-dy}{a\,y^{2}\,{\sqrt {\psi }}}}\,{\frac {(y-\tau ')(1-\tau 'y)}{1+\tau '^{2}}}\cdot$

Nous en conclurions que les points définis par les équations

$y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\quad$ ou $\quad \tau ',\qquad \psi =0$

(et pour lesquels on n’a pas en même temps ${\frac {d\psi }{dy}}=0$), c’est-à-dire