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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

de M. Weierstrass, que l’on a identiquement

$\psi =[(t-h)^{2}+k]\psi _{1},$

où $\psi _{1}$ est une série développée suivant les puissances de $z-z_{0},$ et $t-t_{0}$ et ne s’annulant pas pour $z=z_{0},$ $t=t_{0}\,;$ où $h$ et $k$ sont deux séries ordonnées suivant les puissances de $z-z_{0}$ et se déduisant respectivement à $t_{0}$ et à 0 pour $z=z_{0}$ (Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, Berlin, Springer, 1886, p. 107 et suiv. ; voir aussi Poincaré, Thèse inaugurale, Paris, Gauthier-Villars, 1879).

Nous pouvons poser alors

${\frac {1}{\sqrt {\psi _{1}}}}=0,\quad$ d’où $\quad \mathrm {F} (z,\,t)={\frac {\theta }{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}\cdot$

$\theta$ étant développable suivant les puissances croissantes de $z-z_{0}$ et $t-t_{0}.$

Passons à une seconde hypothèse qui sera celle où, l’inclinaison étant nulle, le point singulier $z=z_{0}$ sera l’un des points B, R, B′ ou R′. On verrait alors que $\mathrm {F} (z,\,t)$ est encore de la même forme ; il y a cependant une différence. Dans la première hypothèse, $k$ est divisible par $(z-z_{0}),$ mais non par $(z-z_{0})^{2}\,;$ dans la seconde, $k$ est divisible par $(z-z_{0}).$

Les dernières hypothèses qu’il nous reste à examiner sont celles où l’on a soit $x_{0}=\tau$ ou ${\frac {1}{\tau }},$ soit $y_{0}=\tau '$ ou ${\frac {1}{\tau '}}\cdot$ Dans ce cas, il peut être utile de faire un changement de variable.

Supposons d’abord

$x_{0}=\tau \;\;\;\mathrm {ou} \;\;\;{\frac {1}{\tau }},\quad \;\;y_{0}\gtrless \tau ',\;\;\;y_{0}\gtrless {\frac {1}{\tau '}}\cdot$

Nous prendrons alors pour variables nouvelles, non plus $t$ et $z,$ mais $x$ et $z\,;$ dans le voisinage du point singulier considéré, $y$ est développable suivant les puissances croissantes de $t-t_{0}$ et $z-z_{0}$ et, par conséquent, suivant celles de $x-x_{0}$ et $z-z_{0}$ et, par conséquent, suivant celles de $x-x_{0}$ et $z-z_{0}.$ $\left[\mathrm {F} _{1}^{0}\right]^{-2}$ est également développable suivant les puissances de $z-z_{0}$ et de $x-x_{0}.$

Si donc nous posons

(1)

$\psi =\left[t\,\mathrm {F} (z,\,t)\right]^{-2},$