Notre intégrale prise le long de est la somme de trois autres, prises respectivement le long de de et de La première et la troisième restent des fonctions holomorphes de dans le voisinage du point puisque les points et sont à une distance finie des arcs et C’est donc la seconde intégrale seulement, prise le long de qui admet comme point singulier ; c’est donc l’étude de cette seconde intégrale qui nous fera connaître l’allure de la fonction dans le voisinage de
Voyons donc comment se comporte la fonction dans le voisinage de Cela dépend, bien entendu, de la nature du point singulier considéré. J’examinerai d’abord l’hypothèse où ce point est l’un de ceux que nous avons désignés par D, F, T, C et par les mêmes lettres accentuées, ou bien encore, dans le cas où l’inclinaison n’est pas nulle, l’un de ceux que nous avons désignés par B₁, B₂, R₁, R₂ ou de leurs réciproques. C’est là l’hypothèse la plus importante, car nous avons vu que, si l’inclinaison et l’une des excentricités sont très petites, c’est le point D qui nous convient.
Dans cette hypothèse est développable suivant les puissances croissantes de et de
![{\displaystyle [\mathrm {F} (z)]^{-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7e0c067408edfdf9486b9c8c5e28d7fc03515c)
J’ai donc
en désignant par une série développée suivant les puissances croissantes de et de
Je supposerai que est assez voisin de et que les points que je viens d’appeler et (extrémités de ) sont assez voisins de (bien que leur distance à ce point ait été supposée finie) pour que la série converge pour et pour
Quelle sera maintenant la forme de cette série En premier lieu, pour
Si donc, dans on fait le premier terme du développement de sera un terme en Il suit de là et d’un théorème
