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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
que j’appellerai
![{\displaystyle t_{0},\;\;jt_{0},\;\;j^{2}t_{0},\;\;\ldots ,\;\;j^{c-1}t_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094f91a82dcdef34ff68547646c77c7951f20913)
étant une racine
ième primitive de l’unité.
Appliquons au développement de
la méthode de M. Darboux.
Pour cela, il nous est nécessaire de savoir comment cette
fonction se comporte dans le voisinage du point singulier
Lorsque
est très voisin de
la fonction
admet deux
points singuliers
et
très voisins de
elle admettra également
autres couples de points singuliers
![{\displaystyle jt_{1},\;\mathrm {et} \;jt_{2},\quad j^{2}t_{1},\;\mathrm {et} \;j^{2}t_{2},\quad \ldots ,\quad j^{c-1}t_{1}\;\mathrm {et} \;j^{c-1}t_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95c763cba8b5efc39b30e4b66d2ccab2ed24a8c)
très voisins respectivement de
![{\displaystyle jt_{0},\quad j^{2}t_{0},\quad \ldots ,\quad j^{c-1}t_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da824cf29bdba48d26d2b36c072f8a505472921)
Le contour d’intégration
le long duquel devra se calculer
![{\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2\,i\,\pi }}\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae9b4f79148a46b2ff23afe98c68d63513c224d)
devra passer entre les points
et
et de même entre les points
et
On pourra, d’ailleurs, supposer que ce contour présente
la symétrie suivante : il sera formé de
arcs
et l’on passera de l’arc
à l’arc
en changeant
en
comme
![{\displaystyle \mathrm {F} (z,\,tj^{k})=j^{-k}\mathrm {F} (z,\,t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bda87426c1cb0d3bdb2f084942bedcdb0ddcdf1)
l’intégrale prise le long des
arcs
sera la même, et l’on aura
![{\displaystyle \Phi (z)={\frac {c}{2\,i\,\pi }}\int _{\mathrm {C} _{0}}\mathrm {F} (z,\,t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59366a6100c0259b6931703d01f9f0025005360)
L’arc
qui est notre nouveau chemin d’intégration passera
alors seulement entre les points singuliers
et
d’ailleurs,
décomposons l’arc
en trois arcs partiels
et
j’appellerai
et
les extrémités de l’arc
et
celles de
et
celles de
Je supposerai que c’est
qui passe entre
et
et
que, quand
tend vers
aucun des quatre points
ne
tende vers
de telle sorte que ces quatre points soient à une
distance finie de
et de