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CHAPITRE VI.

admissible ou le devînt, il faudrait que la valeur finale correspondante franchît le cercle $\mathrm {C} _{0},$ pour passer d’une des deux régions dans l’autre. Or quelle est la signification des équations de ce cercle $\mathrm {C} _{0}$

$|x|=|y|=1.$

Elles signifient que les deux anomalies excentriques sont réelles. À chaque point M de la surface de Riemann $\mathrm {S} ,$ et en particulier de la surface $\mathrm {S} _{0},$ correspond sur les deux orbites un couple de points P et P′ définis par les valeurs des anomalies excentriques, ou ce qui revient au même de $x$ et de $y.$ Si le point M est sur le cercle $\mathrm {C} _{0},$ les points P et P′ sont réels. Le point M ne peut être singulier que si la distance PP′ est nulle, ou si l’un des points P et P′ sont à une distance nulle du Soleil. Cette seconde circonstance ne peut pas se présenter si les points P et P′ sont réels ; ni la première non plus si, comme nous l’avons supposé, les deux orbites ne se coupent en aucun point réel.

Il est donc impossible qu’un point du cercle $\mathrm {C} _{0}$ soit singulier ; c’est-à-dire qu’une des valeurs finales franchisse ce cercle ; c’est-à-dire enfin qu’un point singulier de $\Phi (z)$ perde ou acquière le caractère d’admissibilité.

Il est cependant un cas dont il me reste à parler et où ce raisonnement se trouverait en défaut. Je suppose que l’on fasse suivre au point $z^{\frac {1}{c}}$ la droite $\Delta$ et que l’on étudie les variations correspondantes des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t).$ Au commencement, deux de ces points sont confondus entre eux et se confondent par conséquent avec un point singulier A de $\Phi (z)\,;$ ils se séparent ensuite : soit $\alpha$ l’un d’eux-, il peut arriver (et nous en avons vu des exemples au numéro précédent) que, pour une certaine valeur de $z,$ le point $\alpha$ vienne à se confondre avec un autre point singulier de $\mathrm {F} (z,\,t)$ (généralement différent de celui avec lequel il se confondait d’abord) et, par conséquent, avec un point singulier B de $\Phi (z).$ Il s’en sépare ensuite, de sorte que le point singulier A admet non pas deux, mais trois valeurs finales.

Je dirai dans ce cas, pour abréger le langage, que le point B est subordonné au point A ; il faut, pour qu’il en soit ainsi, que le $z$ du point B ait même argument et module plus rapproché de 1 que le $z$ du point A.