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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

Sur la surface $\mathrm {S} _{0}$ nous pourrons tracer un cercle que j’appellerai $\mathrm {C} _{0}$ et dont l’équation sera

$|x|=|y|=1.$

(En effet, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque de module 1, on peut toujours choisir une valeur de $y$ ayant également pour module 1, de manière que $z$ ait telle valeur que l’on veut de module 1.)

Ce cercle $\mathrm {C} _{0}$ partage en deux régions la surface de Riemann $\mathrm {S} _{0}.$

J’appellerai $\mathrm {R} _{0}$ celle de ces deux régions qui contient les points voisins de $\mathrm {C} _{0}$ et pour lesquels $|x|<1$ et $\mathrm {R} '_{0}$ l’autre région.

Supposons donc que l’on fasse suivre au point $z^{\frac {1}{c}}$ la droite $\Delta$ du numéro précédent et que l’on étudie les variations des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)\,;$ quand on fait varier $z,$ ces points se déplacent sur la surface $\mathrm {S}$ en même temps que cette surface $\mathrm {S}$ varie elle-même. Deux de ces points d’abord confondus en un seul [qui est un point singulier de $\Phi (z)$] se séparent ; quand le module de $z$ atteint la valeur 1 et que $\mathrm {S}$ s’est réduite à $\mathrm {S} _{0},$ ils atteignent sur cette surface $\mathrm {S} _{0}$ deux positions finales. (La discussion du numéro précédent nous a fait voir des cas où l’un de ces points singuliers se séparait lui-même en deux autres ; il y a alors plus de deux positions finales, mais ce que je vais dire reste applicable.) Si toutes ces positions finales appartiennent à la même des deux régions déterminées sur la surface $\mathrm {S} _{0}$ par le cercle $\mathrm {C} _{0},$ le point singulier correspondant de $\Phi (z)$ est inadmissible ; dans le cas contraire, il est admissible.

On voit la nuance qui sépare cet énoncé de celui que j’avais d’abord donné et qui convenait dans le cas particulier du numéro précédent. Les affixes de deux points peuvent être, l’un plus grand, l’autre plus petit que 1 en valeur absolue, et ces deux points peuvent appartenir néanmoins à la même des deux régions définies plus haut, s’ils ne font pas partie du même feuillet de la surface de Riemann.

Cela posé, je dis que, quand on fait varier les éléments des deux orbites, un point singulier d’abord admissible ne peut, en général, devenir inadmissible ou inversement. En effet, considérons les variations de la surface $\mathrm {S} _{0}$ et de ce que nous avons appelé les valeurs finales. Pour qu’un point singulier cessât en effet d’être