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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

De même, quand le second point représentatif atteindra F, le point singulier correspondant se confondra avec un autre, s’en séparera ensuite ; les valeurs finales, comme nous l’avons vu en parlant du point F, sont imaginaires conjuguées et de module plus petit que 1.

Nous avons donc ici non plus 2, mais 4 valeurs finales ; et elles sont toutes quatre plus petites que 1 en valeur absolue.

C.Q.F.D.

Le point B est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement confondus se séparent, mais les valeurs correspondantes de $x$ restent réelles. Les deux points représentatifs décrivent les branches de courbe BP et BD′. Pour le premier, qui décrit BP, la valeur absolue de $x$ va en diminuant ; elle reste donc plus petite que 1 ; considérons le second qui décrit BD′, il me reste à démontrer que, bien que la valeur absolue de $x$ aille en augmentant, elle reste plus petite que 1, tant que le module de $z$ est lui-même inférieur à 1.

Pour cela, il faut faire voir que, pour $x=-1,$ $z>1\,;$ or, pour $x=-1,$

|z|=|y|^{c}

Or

|y|={\frac {\beta (1+\tau ^{2})}{(1+\tau )^{2}}}>1\quad \mathrm {(si} \;\tau \;\mathrm {est} \;\mathrm {assez} \;\mathrm {petit).}

C.Q.F.D.

Le point C est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement confondus se séparent, $x$ demeurant réel ; le premier point représentatif décrit CO, le second CB. Pour le premier, $|x|$ va constamment en diminuant : sa valeur finale est donc plus petite que 1. Examinons le second point singulier qui correspond au point représentatif qui décrit GB. Quand il est arrivé en B, il se confond avec un autre point singulier, et s’en sépare de nouveau ; les deux points représentatifs décriront les deux courbes BP et BD′ ; d’après ce que nous venons de voir, les valeurs finales de $|x|$ sont plus petites que 1. Ainsi nous avons, non pas deux, mais trois valeurs finales, toutes trois plus petites que 1.

C.Q.F.D.

Le point D est admissible. Les deux valeurs de $x$ demeurent