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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

proque du premier. On constate, en effet, que notre système d’équations ne change pas quand on change $x,$ $y,$ $z$ en ${\frac {1}{x}},$ ${\frac {1}{y}}$ et ${\frac {1}{z}},$ et cela était d’ailleurs aisé à prévoir.

Les valeurs de $x$ et de $y$ seront définies par les couples d’équations suivants :

(1),(3); (1),(4); (7),(3); (8),(4); (9),(3) ou (4); (10), (3) ou (4).

Ces équations nous montrent que, si $\varphi$ est très petit et peut être regardé comme un infiniment petit du premier ordre, $y$ est très petit si $x$ est très petit et très grand si $x$ est très grand.

Nous avons, d’autre part,

$z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}.$

Si $\varphi$ est infiniment petit du premier ordre, $x$ est infiniment petit (ou infiniment grand) du même ordre ; il en est de même de $y\,;$ l’exposant ${\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)$ est alors fini ; par conséquent $z$ est un infiniment petit (ou infiniment grand) d’ordre $a+c.$

Je distinguerai parmi les points singuliers celui qui est défini par $x=\tau$ [solution de l’équation (1)] et par l’équation (3).

Pour ce point, en effet, $y$ et $z$ sont nuls.

De même, pour le point défini par $x={\frac {1}{\tau }}$ [autre solution de (1)] et par l’équation (4), et qui est le réciproque du premier, les valeurs de $y$ et de $z$ sont infinies.

Nous n’aurons donc pas à nous occuper de ces deux points singuliers dans la discussion qui va suivre.

Discussion.

97.Voici la question qu’il me reste à résoudre.

J’ai en tout 14 points singuliers, 7 qui correspondent à des valeurs très petites de $x$ et de $y,$ 7 qui correspondent à des valeurs très grandes de $x$ et de $y.$

À un autre point de vue, 7 de ces points correspondent à des valeurs très petites de $z,$ et 7 à des valeurs très grandes de $z.$ Il