Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/300

288

CHAPITRE VI.

Pour trouver les points singuliers de $\Phi (z),$ il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ se confondent. Mais cela peut arriver de deux manières :

Ou bien un point singulier défini par l’une des quatre équations ${\frac {dl}{du}}=0,$ ${\frac {dl'}{du'}}=0,$ $\mathrm {H} =0,$ $\mathrm {H} _{0}=0$ va se confondre avec un point singulier défini par une autre de ces quatre équations : nous obtiendrons ainsi les points singuliers de première espèce de $\Phi (z)\,;$

Ou bien deux des points singuliers définis par une de ces quatre équations se confondront en un seul : nous obtiendrons ainsi les points singuliers de deuxième espèce de $\Phi (z).$

Pour avoir les points de première espèce, il suffit de combiner deux à deux les quatre équations (1), (2), (3), (4). On voit que ces points ne dépendent en aucune façon des entiers $a$ et $c.$

Pour avoir les points de deuxième espèce, voici comment il faut faite :

Soit $f(z,\,t)=0$ une des quatre équations (1), (2), (3), (4) ; pour exprimer que deux des points singuliers définis par cette équation se confondent, il me suffit d’écrire

${\begin{aligned}f&=0,&{\frac {df}{dt}}&=0\end{aligned}}$

Si nous changeons de variables en exprimant $z$ et $t$ et, par conséquent, $f$ en fonctions de $l$ et de $l',$ il vient

${\frac {df}{dt}}={\frac {-i}{t}}\left(c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}\right),$

de sorte que l’équation ${\frac {df}{dt}}=0$ peut être remplacée par

$c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}=0$

ou bien encore

${\frac {c}{1-\sin \varphi \cos u}}\,{\frac {df}{du}}-{\frac {q}{1-\sin \varphi '\cos u'}}\,{\frac {df}{du'}}=0.$

Les premiers membres des équations (1) et (2) ne dépendent que de $u$ ou bien que de $u'\,:$ nous pouvons les laisser de côté ; mais