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CHAPITRE I.
et que l’on prenne pour variables nouvelles
et
,
au lieu de
et de
; ces équations resteront canoniques, dis-je, pourvu que le
déterminant fonctionnel, ou jacobien, de
et
par rapport à
et
soit égal à 1.
Ainsi, si l’on pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt {2\rho }}\cos \omega \,,&y_{1}&={\sqrt {2\rho }}\sin \omega \,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb114d38c475533e9f1354d261a9313ae5f2c780)
la forme canonique des équations ne sera pas altérée et les variables
et
seront conjuguées comme l’étaient
et
.
7.Nous avons défini plus haut le changement de variables
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}&=x_{i}\,,&{\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}&=h'_{i}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d7660f7ed48cc7d71962bf3c9938ae25fc3dea)
qui n’altère pas la forme canonique des équations, quand
est une
fonction quelconque des
et des
.
Cette forme n’est pas altérée non plus si l’on permute les
avec
les
et si l’on change en même temps
en
.
Si donc
est une fonction quelconque de
![{\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{p};\quad h_{1},\;h_{2},\;\dots ,\;h_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a809736df203ba38993d51c30a40bacbd4bd6dd)
et si l’on pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}\,,\qquad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b0bced69ce2cfd6e1896bae3adbda0def3a904)
la forme canonique des équations ne sera pas altérée quand on
prendra pour variables nouvelles les
et les
, et qu’on changera
en même temps
en
.
Elle ne sera pas altérée non plus si l’on change
`
![{\displaystyle y_{1},\;y_{2},\;\dots ,\;y_{n}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9080f05c01ab43e28bb8e7664e5bf1586873874e)
en
![{\displaystyle \lambda y_{1},\;\lambda y_{2},\;\dots ,\;\lambda y_{n}\quad \mathrm {et} \quad \lambda \mathrm {F} \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d3eadee121d1e094a4f77f07582c9303922209)
étant une constante quelconque.
Considérons donc encore une fonction
des
et des
, et posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda y_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}\,,\qquad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4a278cc44e8fcddf57c2a47e459e5ba5b6dffa)