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DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

et

${\begin{aligned}e^{il}&=x\,e^{{\frac {\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&e^{il'}&=y\,e^{{\frac {\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}.\end{aligned}}$

Nous aurons ensuite

${\begin{aligned}t&=e^{\frac {il}{c}}=x^{\frac {1}{c}}e^{{\frac {\sin \varphi }{2c}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&z&=e^{icl'}t^{ca}=y^{c}x^{a}e^{\omega },\end{aligned}}$

en posant, pour abréger,

$\omega ={\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)+{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)\cdot$

Nous aurons, d’autre part,

${\begin{aligned}\xi &={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\sin \varphi +{\frac {\cos \varphi }{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),\\\eta &={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right)-\sin \varphi '+{\frac {\cos \varphi '}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ nous sont donnés par

${\begin{aligned}{\frac {dl}{du}}&=1-\sin \varphi \,\cos u\,\,=0,\\{\frac {dl'}{du'}}&=1-\sin \varphi '\cos u'=0\,;\\\mathrm {H} \;\,&=\xi \;\,-\beta \;\,\eta \;\,=0,\\\mathrm {H} _{0}&=\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.\end{aligned}}$

Nous pouvons transcrire ces équations en nous servant des variables $x$ et $y\,;$ elles deviennent alors algébriques ; les deux premières s’écrivent, en effet,

(1)

$2x-\sin \varphi (x^{2}+1)=0,$

(2)

$2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)=0,$

et les deux dernières, en chassant les dénominateurs,

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi -\cos \varphi (x^{2}-1)]\\\quad =\beta \;x[(y^{2}+1)-2y\sin \varphi '+\cos \varphi '(y^{2}-1)],\\\end{array}}\right.$

(4)

$\left\{{\begin{array}{l}y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]\\\quad =\beta _{0}x[(y^{2}+1)-2y\sin \varphi '-\cos \varphi '(y^{2}-1)].\\\end{array}}\right.$