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CHAPITRE VI.

Si l’on pose de même

$\eta =\cos u'-\sin \varphi '+{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',$

les coordonnées de la deuxième planète, rapportée aux mêmes axes que la première, seront les parties réelle et imaginaire de

$\eta \mathrm {L'} ^{2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )}.$

Soit

$\beta =\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},$

soit

${\begin{aligned}\xi _{0}&=\cos u\,-\,\sin \varphi \,-\,{\sqrt {-1}}\cos \varphi \,\sin u,\\\eta _{0}&=\cos u'-\sin \varphi '-{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',\\\beta _{0}&=\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{-{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},\end{aligned}}$

il viendra

$\mathrm {L} ^{2}\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {1}{\sqrt {(\xi -\beta \eta )(\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0})}}}\cdot$

Les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ sont les mêmes que ceux de $\mathrm {F} _{1}^{0}\,;$ car $\mathrm {F} (z,\,t)$ ne diffère de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ que par une puissance de $t$ et le point $l=0,$ qui, d’ailleurs, n’interviendra pas dans la discussion, est déjà un point singulier de $\mathrm {F} _{1}^{0}.$

Les points singuliers de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ seront ceux pour lesquels $u$ et $u',$ et par conséquent $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi _{0},$ $\eta _{0},$ cesseront d’être fonctions uniformes de $l$ et de $l'$ et, par conséquent, de $z$ et de $t\,;$ et, en outre, ceux pour lesquels

$\xi =\beta \eta \quad \mathrm {ou} \quad \xi _{0}=\beta _{0}\eta _{0}.$

Je vais poser

${\begin{aligned}x&=e^{iu},&y&=e^{iu'}\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\cos u&={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right),&\cos u'&={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right),\\i\sin u&={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&i\sin u'&={\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Nous en déduirons

${\begin{aligned}l&=u-{\frac {\sin \varphi }{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&l'&=u'-{\frac {\sin \varphi '}{2i}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\end{aligned}}$