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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
et dans le voisinage du point ![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
![{\displaystyle \varphi (x)=\mathrm {B} _{1}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{1}}+\mathrm {B} _{2}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{2}}+\ldots +\mathrm {B} _{k}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{k}}+\psi _{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5fc879a3afcc0ceb205ed1dde2e69a5deb515e)
et
restant finis ainsi que leurs
premières dérivées. Il
viendra alors, pour ![{\displaystyle n=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95d0d2ff5092ef306b1f9df43e2620098a6aac3)
![{\displaystyle \lim n^{p+1}r^{n}\left[a_{n}-\sum \mathrm {A} _{i}{\frac {n^{1-\gamma _{i}}}{\alpha ^{\gamma _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\gamma _{i})}}-\sum \mathrm {B} _{i}{\frac {n^{1-\delta _{i}}}{\alpha ^{\delta _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\delta _{i})}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3494bd774fbd72acb02f1d66ef41f17a9c22b0be)
d’où l’on déduit la valeur approximative de ![{\displaystyle a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4733ab60320bf912d93dce5a27ccd1dca7e905)
5o Si l’on a
![{\displaystyle \varphi (x)=\log(1-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1414bf610ad6d3f53400dfe87207f88df40d1c1b)
on aura
![{\displaystyle a_{n}=-{\frac {1}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8995ee57d509d28d9120e900c2f0c05fa65920)
si
![{\displaystyle \varphi (x)=\log(1-x)(1-x)^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c585121a475061c00d5067ecfefa182663888b72)
nous aurons approximativement
![{\displaystyle a_{n}={\frac {-n^{1-k}\log {n}}{\Gamma (-k)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f233077f0816986a6c282bd30df5dcdad2f0df)
Cette dernière formule n’est applicable que si
n’est pas entier
positif ; dans ce cas, on aurait
![{\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{k+1}\,k!}{n(n-1)-(n-k)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d4b22ad10e70590f29f73ab8015065c9f7af96)
6o Soit
![{\displaystyle \varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}x^{-n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a634ba3ec70438ab886ba81145ab181d0145883)
une série contenant des puissances positives et négatives est convergente
pourvu que
![{\displaystyle |x|<\mathrm {R} \quad |x|>r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c9ecbc75cdbd87280e0e635ee08f7379edff6a)
Soient
et
deux points singuliers de la fonction
situés
sur la circonférence
soient
et
deux points
singuliers de
sur la circonférence
Supposons que
n’ait pas d’autre point singulier sur ces deux circonférences.
Soient
![{\displaystyle \psi (x)={\textstyle \sum }b_{n}x^{n},\quad \psi _{1}(x)={\textstyle \sum }c_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9567a1d46c19c472a256888df472750473de8)