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CHAPITRE VI.

Supposons que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépende que de deux variables $x_{1}$ et $x_{2}$ et que $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2}$ soient périodiques de période $2\pi$ par rapport à $y_{1}$ et $y_{2}.$ C’est ce qui arrive dans tous les problèmes que nous avons traités jusqu’ici.

Supposons de même que $\mathrm {S}$ soit périodique en $y_{1}$ et $y_{2}$ et soit

$\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})},$

$\mathrm {A}$ dépendant de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\,;\;\;y_{3},\,y_{4},\,\ldots ,\,y_{n}.$

Supposons qu’on veuille développer $\mathrm {F} '_{1},$ et $\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}$ sous la même forme, et soit

$\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})}.$

L’équation (6) montre que

$\mathrm {B} ={\sqrt {-1}}\,\mathrm {A} \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\right).$

Si donc on donne à $x_{1}$ et à $x_{2}$ des valeurs telles que

$m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,$

on aura également

$\mathrm {B=0.}$

Appliquons ce résultat au cas qui nous occupe.

Soient

(7)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta '\,;\\l,&g,&\theta ,&l',&g',&\theta '\\\end{array}}\right.$

les variables (4) du n^o 11 relatives aux deux orbites osculatrices anciennes B, par rapport à A, C par rapport à D.

Soient

(8)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\beta _{1}\mathrm {L} _{1},&\beta _{1}\mathrm {G} _{1},&\beta _{1}\Theta _{1},&\beta '_{1}\mathrm {L} '_{1},&\beta '_{1}\mathrm {G} '_{1},&\beta '_{1}\Theta '_{1}\,;\\l_{1},&g_{1},&\theta _{1},&l'_{1},&g'_{1},&\theta '_{1}\\\end{array}}\right.$

les variables (4) du n^o 11 relatives aux deux nouvelles orbites (B par rapport à E, C par rapport à A).

Ces variables (8) pourront remplacer les variables (7) sans que la forme canonique des équations soit altérée ; elles dépendront des variables (7) et de $\mu \,;$ elles seront développables suivant les