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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTUBATRICE.

Si l’on pose alors

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\ldots ,$

il vient

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}&={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {\beta '_{1}m_{1}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta _{2}m_{1}}{\mathrm {AB} }},\\\mathrm {F} _{1}&=-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}}+{\frac {\beta \beta '\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Envisageons successivement les divers termes de la fonction perturbatrice $\mathrm {F} _{1}.$

Tout d’abord Le premier terme

$-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}$

ne dépend que de l’anomalie moyenne $l$ et nullement de l’anomalie moyenne $l'\,;$ il ne pourra donc donner dans le développement des termes en

$\sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),$

où $n\gtrless 0.$

De même le second terme

$-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}=-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}$

ne pourra donner dans le développement final des termes en

$\sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),$

où $m\gtrless 0.$

Nous pourrons donc en général laisser de côté ces deux premiers termes.

Le dernier terme

${\frac {\beta \beta '\,\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}$

peut se mettre sous une autre forme. Si je désigne par $i$ l’inclinaison des orbites et par $v$ et $v'$ les longitudes vraies comptées à partir du nœud, on a

$\cos \mathrm {D} =\cos v\cos v'+\cos i\sin v\sin v',$