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CHAPITRE VI.

méthode de M. Darboux et pour cela étendre cette méthode au cas des fonctions de deux variables.

91.La fonction qu’il s’agit de développer est celle que nous avons appelée $\mathrm {F} _{1}$ et dont je vais rappeler l’expression en reprenant les notations du n^o 11.

On a alors

$\mathrm {F} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {m_{2}m_{3}}{\mu \mathrm {BC} }}-{\frac {m_{3}m_{1}}{\mu \mathrm {AC} }}-{\frac {m_{1}m_{2}}{\mu \mathrm {AB} }}\cdot$

La fonction $\mathrm {F}$ ainsi définie dépend des variables (4) du n^o 11 de $m_{1},$ $m_{2},$ $m_{3}$ et de $\mu .$ Si nous supposons que $m_{1},$ $m_{2}$ et $m_{3}$ soient des fonctions données du paramètre $\mu$ et soient développables suivant les puissances croissantes de ce paramètre, $\mathrm {F}$ ne dépendra plus que des variables (4) et de $\mu ,$ et sera développable suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Cela peut se faire d’une infinité de manières ; nous supposerons, par exemple, que $m_{1},$ $\beta$ et $\beta '$ sont des constantes indépendantes de $\mu .$

Les variables (4) sont les variables képlériennes relatives à deux orbites osculatrices définies dans le n^o 11. Le rayon vecteur dans la première orbite osculatrice est AB, dans la seconde orbite le rayon vecteur est CD. L’angle de ces deux rayons vecteurs (qui n’est autre chose que la différence des deux longitudes vraies dans les deux orbites osculatrices, si ces deux orbites sont dans un même plan) est l’angle BDC que j’appellerai simplement D.

Les quantités $(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}),$ $(y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}),$ et AB dépendent seulement des variables (4) et non de $\mu .$ Au contraire, $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ AC et BC dépendent non seulement des variables (4) mais encore de $\mu .$ Nous pouvons donc nous proposer de développer $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ ${\frac {1}{\mathrm {AC} }}$ et ${\frac {1}{\mathrm {BC} }}$ suivant les puissances de $\mu .$ Nous trouvons ainsi

${\begin{aligned}&\qquad \alpha _{2}=\beta \,\,+{\frac {\mu \beta ^{2}}{m_{1}}}\,+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\&\qquad \alpha _{3}=\beta '+{\frac {\mu \beta '^{2}}{m_{1}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\{\frac {1}{\mathrm {BC} }}&={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} \,\cos \mathrm {D} }}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ,\\{\frac {1}{\mathrm {AC} }}&={\frac {1}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \mu }{m_{1}}}\,{\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2}.\end{aligned}}$