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CHAPITRE V.

On prend comme variables :

Les grands axes, les excentricités, les inclinaisons, les longitudes moyennes et les longitudes des périhélies et des nœuds.

Mais il est aisé de voir que cela revient au même.

Si nous posons

$\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}=\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}g+m_{2}g'+m_{1}\theta +m_{2}\theta ')},$

il viendra

(2)

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}[m_{1}(l+g+\theta )+m_{2}(l'+g'+\theta ')]},$

Le facteur exponentiel ne dépend que des longitudes moyennes

$l+g+\theta ,\quad l'+g'+\theta '$

et le facteur $\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}$ ne dépend que des autres variables, grands axes, excentricités, inclinaisons, longitudes des périhélies et des nœuds. Nous retomberons donc ainsi sur le développement habituel de la fonction perturbatrice.

Les expressions (14) peuvent alors s’écrire

$\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\mathrm {B} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{-\lambda }=\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\mathrm {C} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{-\lambda }.$

Pour qu’il y ait une intégrale uniforme, il faut donc qu’il y ait une relation entre $2n-4$ quelconques ($n=4$ dans le plan, $n=6$ dans l’espace) des expressions

(14 bis)

$\mathrm {C} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\mathrm {C} _{\lambda 'p,'\lambda q}^{-\lambda }\quad (\lambda ,\lambda '=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ,\,{\text{ad inf.}}).$

formées à l’aide des coefficients du développement (2).

Ainsi, pour appliquer les principes du présent Chapitre, il n’est pas nécessaire d’effectuer un nouveau développement de la fonction perturbatrice à l’aide de nouvelles variables, tel que serait le développement (1). On peut se servir du développement déjà usité par les astronomes, c’est-à-dire du développement (2).

Les coefficients $\mathrm {C} _{m_{1}m_{2}}$ sont développables suivant les puissances croissantes des excentricités et des inclinaisons. Considérons donc le développement de l’un de ces coefficients suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons. On sait (cf. n^o 12) que tous les termes de ce développement seront de degré $|m_{1}+m_{2}|$