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CHAPITRE V.

d’où

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}=0.$

On en déduirait par un raisonnement tout semblable à celui du n^o 82 que $\Phi _{0}$ est fonction de $\mathrm {F} _{0},$ ce qui est contraire à l’hypothèse faite au début.

2^o Ou bien, si le jacobien de $2n-3$ quelconques des fonctions $\mathrm {D} _{\lambda }$ par rapport aux $2n-3$ variables $\zeta ,$ $z_{i}$ et $u_{i}$ est nul.

On en conclurait que, si l’on donne à $x_{1}$ et à $x_{2}$ des valeurs constantes satisfaisant à la condition (12 bis), il en résulte une relation entre $2n-3$ quelconques des fonctions $\mathrm {D} _{\lambda },$ de telle sorte que toutes ces fonctions peuvent s’exprimer à l’aide de $2n-4$ d’entre elles.

On peut énoncer encore ce résultat d’une autre manière :

Considérons les expressions suivantes

(14)

$\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\,\mathrm {B} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{-\lambda }\,$

Si l’on suppose que l’on donne à $x_{1}$ et $x_{2}$ des valeurs constantes satisfaisant à l’équation (12 bis), ces expressions (14) dépendent de $2n-4$ variables seulement, à savoir des $z_{i}$ et des $u_{i}.$

S’il existe une intégrale uniforme, toutes ces expressions sont des fonctions de $2n-5$ d’entre elles ; ou, en d’autres termes, on peut trouver une relation entre $2n-4$ quelconques d’entre elles.

Quelle est la condition pour qu’il existe trois intégrales uniformes distinctes

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=\mathrm {const.} ,&\Phi &=\mathrm {const.} ,&\psi &=\mathrm {const.} \,?\end{aligned}}$

Soient $\mathrm {F} _{0},$ $\Phi _{0}$ et $\psi _{0}$ ce que deviennent ces trois intégrales pour $\mu =0.$ On démontrerait, comme plus haut, que l’on peut toujours supposer qu’il n’y a aucune relation entre $\mathrm {F} _{0},$ $\Phi _{0}$ et $\psi _{0}.$

On trouverait ensuite, en posant

$-\mathrm {H} '\zeta =p\,{\frac {d\psi _{0}}{dx_{1}}}+q\,{\frac {d\psi _{0}}{dx_{2}}}$

que l’on a

(13 ter )

$\quad \mathrm {H} '{\frac {d\mathrm {D} _{\lambda }}{d\zeta }}+\sum \left({\frac {d\mathrm {D} _{\lambda }}{dz_{i}}}{\frac {d\psi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\mathrm {D} _{\lambda }}{du_{i}}}{\frac {d\psi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0.$