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CHAPITRE V.

faisant partie de D une infinité de familles ordinaires, il ne pourra exister aucune intégrale uniforme distincte de $\mathrm {F} .$

Le raisonnement du numéro précédent est en effet applicable à tout système de valeurs des $x$ qui correspond à une famille ordinaire.

Les jacobiens de $\mathrm {F} _{0}$ et de $\Phi _{0},$ par rapport à deux quelconques des variables $x,$ devraient donc s’annuler une infinité de fois dans tout domaine δ faisant partie de D, ce qui ne peut arriver que s’ils sont identiquement nuls.

Je dis maintenant que, si l’on peut trouver dans tout domaine δ faisant partie de D une infinité de classes singulières du $q$^ième ordre, le nombre des intégrales uniformes distinctes que peuvent comporter les équations (1) est au plus égal à $q+1$ (en y comprenant l’intégrale $\mathrm {F}$).

Supposons en effet qu’il y ait $q+2$ intégrales distinctes ; soient

$\mathrm {F} ,\quad \Phi ^{1},\quad \Phi ^{2},\quad \ldots ,\quad \Phi ^{q+1}$

ces intégrales et supposons que pour $\mu =0$ elles se réduisent à

(11)

$\mathrm {F} _{0},\quad \Phi _{0}^{1},\quad \Phi _{0}^{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{0}^{q+1}.$

Soit un système de valeurs des $x$ correspondant à une famille irrégulière du $q$^ième ordre. Posons

$n-q-1=p.$

Il existera dans cette famille $p$ classes ordinaires. Soient

$m_{1,k},\;m_{2,k},\;\ldots \;m_{n,k},\;\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,p)$

les systèmes d’indices correspondant à ces classes.

On aura pour les valeurs des x considérées

${\begin{array}{c}\displaystyle \sum _{i=n}^{i=1}m_{i,k}\,{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=\displaystyle \sum _{i=n}^{i=1}m_{i,k}\,{\dfrac {d{\Phi }_{0}^{h}}{dx_{i}}}=0\\[1.25ex](k=1,\,2,\,\ldots ,p,\;h=1,\,2,\,\ldots ,q+1).\end{array}}$

On en déduira que les jacobiens des $q+2$ fonctions (11) par rapport à $q+2$ quelconques des $x$ doivent s’annuler pour les valeurs considérées des $x.$