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CHAPITRE V.

Cas où les $\mathrm {B}$ s’annulent.

83.Dans la démonstration qui précède, nous avons supposé que les coefficients $\mathrm {B}$ n’étaient pas nuls. Si un ou plusieurs de ces coefficients s’annulaient (et surtout si une infinité d’entre eux s’annulaient), il y aurait lieu d’examiner le raisonnement de plus près.

Pour rendre possible l’énoncé des conséquences auxquelles je vais être conduit, je serai forcé d’introduire une terminologie nouvelle.

À chaque système d’indices $m_{1},\,m_{2},\,...,\,m_{n}$ (où les $m_{i}$ sont des entiers) correspond un coefficient $\mathrm {B} .$ Je dirai que ce coefficient devient séculaire quand les $x_{i}$ prendront des valeurs telles que

(7)

${\textstyle \sum }\,m_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0.$

Voici ce qui peut justifier cette dénomination.

Lorsque, dans le calcul des perturbations, on suppose que le rapport des moyens mouvements soit commensurable, quelques-uns des termes de la fonction perturbatrice cessent d’être périodiques, et l’on peut dire alors qu’ils deviennent séculaires ; ce qui se passe ici est tout à fait analogue.

Je dirai que deux systèmes d’indices $(m_{1},\,m_{2},\,\ldots ,\,m_{n})$ et $(m'_{1},\,m'_{2},\,\ldots ,\,m'_{n})$ appartiennent à la même classe lorsqu’on aura

${\frac {m_{1}}{m'_{1}}}={\frac {m_{2}}{m'_{2}}}=\ldots ={\frac {m_{n}}{m'_{n}}}$

et que deux coefficients $\mathrm {B}$ appartiennent à la même classe lorsqu’ils correspondent à deux systèmes d’indices appartenant à la même classe.

Pour démontrer le théorème du numéro précédent, nous avons supposé qu’aucun des coefficients $\mathrm {B}$ ne s’annule en devenant séculaire.

Pour que le résultat soit vrai, il suffit que, dans chacune des classes, il y ait au moins un des coefficients $\mathrm {B}$ qui ne s’annule pas en devenant séculaire.