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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

et, comme ce doit être une identité, on aura, pour tous les systèmes de valeurs entières des $m_{i},$

$\mathrm {A} \Sigma \,m_{i}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0,$

de sorte qu’on doit avoir identiquement, ou bien

(4)

$\mathrm {A} =0,$

ou bien

(5)

$\Sigma m_{i}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0,$

De l’identité (5) on déduirait, par différentiation,

$\sum _{i=1}^{i=n}m_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}=0\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Or cela ne peut avoir lieu que de deux manières :

Ou bien si

$m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{n}=0,$

ou bien si le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ est nul.

Or nous avons supposé au début que le hessien n’était pas nul.

Donc $\mathrm {A}$ doit être identiquement nul, sauf pour le terme où tous les $m_{i}$ sont nuls.

Cela revient à dire que $\Phi _{0}$ se réduit à un seul terme qui ne dépend pas des $\mathrm {y.}$

C.Q.F.D.

Examinons maintenant l’équation (3). Comme $\mathrm {F} _{0}$ et $\Phi _{0}$ ne dépendent pas des $y,$ cette équation peut s’écrire

$-\sum {\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}+\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{i}}}=0.$

D’autre part, $\mathrm {F} _{1}$ et $\Phi _{1}$ sont périodiques par rapport aux $y$ et, par conséquent, développables suivant les exponentielles de la forme

$e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n})},$

les $m_{i}$ étant des entiers positifs ou négatifs.