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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Je dis que les fonctions $\mathrm {S} ''_{i},\,\mathrm {T} ''_{i},\,\mathrm {S} _{i}^{\star },\,\mathrm {T} _{i}^{\star }$ sont périodiques en $t$ de période $\mathrm {T} .$ En effet, $\theta _{i}$ et $\Theta _{i}$ sont périodiques de période $\mathrm {T}$ en $u\,;$ cette période étant indépendante de $\varepsilon ,$ les dérivées

(5)

${\frac {d\theta _{i}}{du}},\quad {\frac {d\Theta _{i}}{du}},\quad {\frac {d\theta _{i}}{d\varepsilon }},\quad {\frac {d\Theta _{i}}{d\varepsilon }}$

seront également périodiques en $u.$ Mais, pour $\varepsilon =0,$ $u=t\,;$ si donc on fait après la différentiation $\varepsilon =0,$ ces quatre dérivées (5), c’est-à-dire les quatre fonctions $\mathrm {S} ''_{i},$ $\mathrm {T} ''_{i},$ $\mathrm {S} _{i}^{\star },$ $\mathrm {S} _{i}^{\star }$ seront périodiques en $t.$ C.Q.F.D.

Ces quatre fonctions seront, comme $\theta _{i}$ et $\Theta _{i}$ dont elles sont les dérivées, développables suivant les puissances croissantes et positives de $\mu$ (je rappelle que $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i},$ dans le numéro précédent, étaient développables suivant les puissances non de $\mu ,$ mais de ${\sqrt {\mu }}$).

Pour $\mu =0,$ $\varphi _{i}$ se réduit à une constante $x_{i}^{0}\,;$ donc ${\frac {d\varphi _{i}}{dt}}=\mathrm {S} ''_{i}$ s’annule. Donc $\mathrm {S} ''_{i}$ est divisible par $\mu ,$ de même que dans le numéro précédent $\mathrm {S} _{i}$ était divisible par ${\sqrt {\mu }}.$

Au contraire $\mathrm {S} _{i}^{\star }$ n’est pas divisible par $\mu .$

Dans un Mémoire que j’ai publié dans les Acta mathematica, t. XIII, p. 157, je suis amené à considérer des équations analogues aux équations (2) et deux solutions particulières de ces équations

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {S} ''_{i},&\eta _{i}&=\mathrm {T} ''_{i},\\\xi _{i}&=\mathrm {S} '''_{i}+\alpha t\mathrm {S} ''_{i},&\eta _{i}&=\mathrm {T} '''_{i}+\alpha t\mathrm {T} ''_{i}.\\\end{aligned}}$

J’appelle $\alpha$ un des exposants caractéristiques, de telle sorte que $\alpha$ est développable suivant les puissances impaires de ${\sqrt {\mu }},$ et que $\mu$ est lui-même développable suivant les puissances de $\alpha ^{2}$ et est divisible par $\alpha ^{2}.$

Je suppose que l’on remplace $\mu$ par cette valeur, de sorte que toutes nos fonctions se trouvent développées suivant les puissances de $\alpha .$ J’annonce ensuite que $\mathrm {S} ''_{i}$ et $\mathrm {S} '''_{i}$ sont divisibles par $\alpha .$ En effet $\mathrm {S} ''_{i},$ comme nous venons de le voir, est divisible par $\mu$ et $\mu$ par $\alpha ^{2}.$

D’autre part, nous avons manifestement

$\mathrm {S} ''_{i}=\alpha \mathrm {S} _{i}^{\star },$